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多项式乘法与除法

多项式的乘法和除法

这个知识点的练习题

1将 $\frac{2x^4 + x^3 + 9x^2 + 7x + 3}{(x+1)(x^2+5)}$ 化为部分分式。
2已知 $\frac{2^x \times 32(2^x)}{8^{x+1}} = \frac{9(5^{2x}) - 5^{2x+1}}{5^x - 5^{x-1}}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $10^x$ 的值。解方程 $\sqrt{x+7} - x - 1 = 0$ …
3将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
4按 $x$ 的升幂排列，求下列各项展开式中的前三项： $(1+4x)^7$ ， $(2-x)^7$ 。由此求 $(2+7x-4x^2)^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数。
5如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
6在 $(1 + bx)(1 + ax)^6$ 的展开式中，前两个非零项为 $1$ 和 $-\frac{21}{4}x^2$ 。已知 $a < b$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。
7解方程 $x + 1 + \sqrt{5 - x} = 0$ 。解方程 $\log_x(2x-1) = \log_{x^2}(4-5x)$ 。
8在 $\left(x^2 - \frac{m}{2x}\right)^{12}$ 的展开式中，其中 $m$ 是正常数，不含 $x$ 的常数项为 126 720。证明 $m = 4$ 。由此求 $\left(x^2 - \frac{m}{2x}\right)^{12}(8x^9 + 5)$ …
9如果 $3a^{3}b^{2}÷\dfrac{1}{3}ab=A$ ，那么 $A$ 是 $(\quad)$ A. $a^{3}b^{4}$ B. $a^{2}b$ C. $3a^{4}b^{3}$ D. $9a^{2}b$
10通过精确作图来解答本题将不予采纳。该图（未按比例绘制）显示了一个四边形 $ABCD$ ，其顶点为 $A(-4, -6)$ 、 $B(-7, h)$ 和 $C(2, 6)$ ，而 $D$ 位于 $x$ 轴上。 $AD$ 平行于 $BC$ 。点…
11通过精确作图得出的本题解法将不被接受。图中显示了一个梯形 $ABCD$ ，其中 $AB$ 平行于 $DC$ 。点 $A$ 、 $B$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(2, 0)$ 、 $(3a, 2a+4)$ 和 $(-2, 2)$ ，其中 $a$ …
12证明方程 $3e^{2x}+7e^{x}=6$ 只有一个解，并求其精确到 2 位有效数字的值。将 $(3x + 1)^3 - 8$ 彻底因式分解。
13写出 $\left(1 - 4x\right)^{6}$ 展开式中的前四项。由此求出 $\left(3 + x^{2}\right)\left(1 - 4x\right)^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数。解释为什么 $\left(2x + \frac{1}{x^{3}}\right)^{18}$ …
14因式分解 $64 - (x + 1)^3$ 。由此，解方程 $64 - (x + 1)^3 = 15(3 - x)$ ，非整数根用根式形式表示。
15三次多项式 $\text{f}(x)$ 满足 $x^3$ 的系数为 $-1$ ，且 $\text{f}(x) = 0$ 的根为 $1$ 、 $k$ 和 $k^2$ 。已知 $\text{f}(x)$ 除以 $x - 2$ 的余数为 $-7$ 。证明…
16解方程 $8 - \sqrt{11 - 2x} = -x$ ，将答案表示为 $a + b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 均为整数。
17已知 $a= \sqrt {5}-1$ ，则 $2a^{3}+7a^{2}-2a-12$ 的值等于 ___ ．
18直线 $y = x - 4$ 与曲线 $y = \frac{2}{x - 3}$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ 。求 $A B$ 的长度。
19用 $a$ 和 $n$ 表示 $(2+x)^n$ 展开式中的第三项。写出 $(1-3x)^5$ 展开式中的前三项。在 $(1-3x)^5(2+ax)^6$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $-384$ 。求 $a$ 的值。
20在 $(1 + bx)(1 + ax)^6$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中，前两个非零项分别为 $1$ 和 $-\frac{21}{4}x^2$ 。求常数 $a$ 和 $b$ 的值，其中 $a < b$ 。
21通过考虑 $\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^9$ 的二项式展开式中的通项，解释为什么 $x$ 的次数总是能被 3 整除。求 $\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^9 (1 + 3x^3)^2$ …
22多项式 $\mathrm{f}(x) = Ax^3 - (2A + B)x^2 + 2x + B$ （其中 $A$ 和 $B$ 是常数）能被 $(x - 1)$ 整除。当 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $x$ 时，所得的余数是 3。…
23写出并化简 $\left(2 - x\right)^7$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中的前 3 项。求 $\left(1 - 8x + 24x^2\right)\left(2 - x\right)^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数。…
24计算： -28x4y2÷7x3y＝
25图中显示了曲线 $y = \frac{15}{(0.5x+1)}$ 的一部分和一条直线 $y = 1.25x - 10$ 。该直线与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，与 $x$ 轴相交于点 $Q$ ，与曲线相交于点 $R$ 。求 $P$ 和 $Q$ …
26先化简，再求值． $(a-2b)(a+2b)+a{{b}^{3}}\div(-ab)$ ，其中 $a=\sqrt{2}$ ， $b=-1.$
27已知 $\frac{(\log_y x)^2}{\log_x y} + 64 = 0$ ，用 $x$ 表示 $y$ 。解方程 $\log_2 x + 3 = 2\log_2(x - 1)$ 。
28已知 $\log_x p = 9$ 且 $\log_x q = 6$ ，求 $\log_{\frac{p}{q}} x^2$ 的值。解方程 $\lg(3x + 1) + \lg(2x - 1) = 2 - \lg 2$ ，并解释为什么该方程只…
29证明对于所有实数 $a$ 和 $b$ ，方程 $ax^2 + (3a + b)x + 3b = 0$ 的根都是实数。求 $m$ 的取值范围，使得直线 $y = mx - 3$ 与曲线 $y^2 = 4x - 6y - 34$ 永不相交。
30图中显示了三个点 $P(-6, 0)$ 、 $Q(4k, k-2)$ 和 $R(8, 5)$ ，其中 $PQ$ 垂直于 $QR$ 且 $k < 0. 证明$ k = -1 $。$ PR $的垂直平分线交 y 轴于$ S $。求$ S $的坐标。求四边形$ …
31将 $\frac{2x^3 - 5}{x^2(x - 1)}$ 化为部分分式。
32已知 $y = \sec x$ ，证明 $\frac{dy}{dx} = \sec x \tan x$ 。由此证明 $y^4 - y^2 = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ 。已知 $\frac{6x + 1}{2x + 1}$ …
33已知一个多项式除以多项式 $2a^{2}+3a-4$ 所得的商式为 $3a+2$ ，余式为 $5a+9$ ，求这个多项式.
34图示一个湖泊（阴影部分），其边缘有一条笔直平坦的道路 AXB。点 C 在湖面上，B 是距离 C 最近的点。距离 AB 为 30 m，BC 为 20 m。纳塔莉（Natalie）在道路上的 A 点，想要尽快到达 C 点。她的奔跑速度为 4…
35利用多项式长除法，证明 $2x^2+1$ 是 $2x^3-4x^2+x-2$ 的一个因式。将 $\dfrac{-5x^2+11x-11}{2x^3-4x^2+x-2}$ 表示为部分分式。
36已知 $\log_2\left(4 - x^2\right) - \log_{\sqrt{2}}(x - 1) = 1$ 。清晰地说明为什么 $1 < x < 2$ 。由此，解该方程并说明它有且仅有一个解。
37因式分解 $\left(2x+1\right)^3 - \left(2x-1\right)^3$ 。由此证明方程 $\left(2x+1\right)\bigl[\left(2x+1\right)^3 - \left(2x-1\right)^3\bigr]=0$ …
38求 $3x^3 - x^2 + 4x + 2$ 除以 $x^2 + 1$ 时的余式。当 $x^3 + ax$ （其中 $a$ 是常数）除以 $x + 2$ 时的余数与它除以 $x - 1$ 时的余数相同。求 $a$ 的值。
39曲线的方程为 $y = x^2(6 - x)$ 。求该曲线驻点的坐标。使用二阶导数检验法确定每个驻点的极值性质。求使 $y$ 单调递增的 $x$ 的值域。
40解方程 $3x = \sqrt{1-x} - 1$ 。一个三角形的底边长为 $(1+\sqrt{3})\text{ cm}$ ，面积为 $(14+8\sqrt{3})\text{ cm}^2$ 。 不使用计算器，求该三角形的高（单位为…
41图中显示了曲线 $y=(9-x)(x-3)$ 的一部分以及直线 $y=k-3$ （其中 $k>3$ ）。过曲线最高点且平行于 y 轴的直线与 x 轴交于 A 点。曲线与 x 轴交于 B 点，直线 $y=k-3$ 与曲线交于点 $C(k,\,k-3)$ …
42将 $x^4 - 1$ 彻底因式分解。已知 $\frac{x^4}{x^4 - 1} = a + \frac{b}{x^4 - 1}$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。将 $\frac{x^4}{x^4 - 1}$ 表示为部分分式。
43将 $\frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\int \frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2} \, dx$ 。
44将 $\frac{8x^3 + 3x + 1}{x(2x + 1)^2}$ 表示为一个多项式和一个真分式的和。由此，将 $\frac{8x^3 + 3x + 1}{x(2x + 1)^2}$ 表示为一个多项式和部分分式的和。 Q8(b)…
45求 $\left(x - \frac{5}{2x}\right)^2$ 关于 $x$ 的积分。
46将 $\frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)}$ 化为部分分式。求 $\ln(x^2 + 1)$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int \frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)} \, dx$ …
47用 $a$ 和 $n$ 表示 $(2+x)^n$ 展开式中的第三项。写出 $(1-3x)^5$ 展开式的前三项。在 $(1-3x)^5 (2+ax)^6$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $-384$ 。求 $a$ 的值。
48曲线的方程为 $y = e^{x^2 - 5x}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 的表达式。求该曲线驻点坐标的精确值。
49已知 $\text{f}(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ ，证明 $x+2$ 是 $\text{f}(x)$ 的一个因式，并由此将 $\text{f}(x)$ 完全因式分解。由此，将 $\frac{2x^3 + 6x^2 + 7}{x^3 + 3x^2 - 4}$ …
50求在二项式展开式 $\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^9.$ 中不含 $x$ 的项和含有 $\frac{1}{x^3}$ 的项。由此，求在展开式 $\left(3 - x^3\right)\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^9.$ …
51将 $\frac{2x^3 - 4x^2 - 5x + 3}{(x-3)(x^2-9)}$ 表示为部分分式。
52写出并化简 $\left(2 + \frac{x}{2}\right)^n$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式的前三项，其中 $n$ 为正整数。 $\left(\frac{4}{3} - 3x\right)\left(2 + \frac{x}{2}\right)^n$ …
53证明方程 $3^{2x+4}\times5^{x}=3^{3x}\times25^{x}$ 的解为 $x=\dfrac{\lg81}{\lg15}$ 。将方程 $\log_{2} x + \log_{4} (x+6) = 2$ 表示为关于…
54已知当 $x > -3$ 时， $y = \frac{\ln(x+3)^3}{3x+9}$ ，求使 $y$ 是关于 $x$ 的单调递增函数的 $x$ 值集合。请用 e 表示你的答案。
55将 $\frac{10x}{3-5x}$ 表示为 $a + \frac{b}{3-5x}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此，求 $\frac{10x}{3-5x}$ 关于 $x$ 的积分。
56利用多项式长除法，计算 $4x^3 + 5x^2 + x - 1$ 除以 $x^2 (x+1)$ 。由此，将 $\dfrac{4x^3 + 5x^2 + x - 1}{x^2 (x+1)}$ 分解为部分分式。由此，求出 $\displaystyle \int \frac{4x^3 + 5x^2 + x - 1}{x^2 (x+1)}\,dx$ …
57一个长方体的体积为 $x^{2}-2xy+x$ ，高是 $x$ ，则这个长方体的底面积是 $()$ A. $x-2y$ B. $x+2y$ C. $x-2y-1$ D. $x-2y+l$
58将 $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ 分解为部分分式。
59图中显示了曲线 $y = x(x-2)^2$ 的一部分，该曲线过点 $P(1, 1)$ 。证明 $OP$ 的方程为 $y = x$ 。证明 $OP$ 是曲线在点 $P$ 处的法线。求由曲线与直线 $OP$ 所围成的阴影区域的面积。
60将 $\frac{8x^2 - x}{4x^2 - 1}$ 表示为部分分式。利用第 (i) 部分的结果，求 $\int \frac{8x^2 - x}{4x^2 - 1} \, dx$ 。