已知一个多项式除以多项式2a²+3a-4所得的商式为3a+2，余式为5a+9，求这个多项式.

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完整解法

1. 根据整式除法的关系，将被除式表示为除式、商式与余式的组合关系式

根据题意，设所求的多项式为 $A$ .
由“被除式 $=$ 除式 $\times$ 商式 $+$ 余式”的关系，可得：
$A = (2a^{2}+3a-4)(3a+2) + (5a+9)$

2. 计算多项式的乘积部分

首先计算除式与商式的乘积 $(2a^{2}+3a-4)(3a+2)$ ：

\begin{aligned} (2a^{2}+3a-4)(3a+2) &= 2a^{2}(3a+2) + 3a(3a+2) - 4(3a+2) \\ &= 6a^{3} + 4a^{2} + 9a^{2} + 6a - 12a - 8 \\ &= 6a^{3} + 13a^{2} - 6a - 8 \end{aligned}

3. 将乘积结果加上余式，合并同类项求出该多项式

将乘得的积加上余式 $5a+9$ ：

\begin{aligned} A &= (6a^{3} + 13a^{2} - 6a - 8) + (5a+9) \\ &= 6a^{3} + 13a^{2} + (-6a+5a) + (-8+9) \\ &= 6a^{3} + 13a^{2} - a + 1 \end{aligned}

所以这个多项式为 $6a^{3}+13a^{2}-a+1$ .

答案

$6a^{3}+13a^{2}-a+1$

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