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复合一次式积分

任意有理数 $n$ 的 $(ax + b)^{n}$ 、 $\sin(ax + b)$ 、 $\cos(ax + b)$ 和 $e^{(ax + b)}$ 的积分

这个知识点的练习题

1图示为曲线 $y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6$ 的一部分，该曲线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。曲线在点 $Q$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $R$ 。求法线的方程，阴影区域的面积。
2将 $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2(2x+1)}$ 表示为部分分式。由此对 $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2(2x+1)}$ 关于 $x$ 进行积分。
3一名驾驶员以恒定速度 V m/s 行驶，经过一个固定点 X 并看到前方车辆很少。他踩下油门，随后他的速度 v m/s 由 $v = 60e^{t/6}$ 给出，其中 $t$ 是通过 X 后的时间（以秒为单位）。当他通过点 Y 时，他的速度已…
4将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}\,\mathrm{d}x$ …
5一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
6图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
7已知 $f'(x)=6\cos 3x-12\sin 3x$ 且 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ 。求 $f(x)$ 。求 $f''\left(\frac{\pi}{12}\right)$ 的精确值。
8曲线 $y = f(x)$ 的斜率函数由 $\frac{36}{(2x+1)^2}$ 给出，其中 $x > -\frac{1}{2}$ 。曲线过点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 。求该曲线的方程。求曲线在 $x = 1$ …
9已知 $y = 4x \sin 2x$ 。证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 可以表示为 $ax \cos 2x + b \sin 2x$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $x$ 以每…
10将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
11已知函数 $f(x)$ 满足 $f'(x) = \sin 2x + \cos 3x$ 。又已知 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$ ，证明 $f''(x) + 9f(x) = -\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\cos 2x$ …
12一质点在直线上运动，使得在离开固定点 $O$ 之后 $t$ 秒，其速度 $v$ 由 $v = \frac{36}{(t-3)^2} - 9$ 给出。求质点的初始加速度。质点瞬时静止时 $t$ 的值。质点在头 2 秒内运动的总路程。
13下图显示了 $y = \frac{1}{2x+1}$ 的图像以及该曲线在其与 $y$ 轴交点处的切线。求切线的方程。计算阴影区域的面积。
14证明 $\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx$ 的精确值…
15将 $\frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)}$ 表示为部分分式。由此求 $\int_{0}^{1} \frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)} \, dx$ 的值。
16图中显示了曲线 $y = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}x - 5\right)^2} + 1$ 的一部分。 $P$ 是曲线上 $x = 6$ 的点。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $Q$ 。求 $Q$ …
17求 $4xe^{3x}$ 关于 $x$ 的导数。由此求 $\int_{0}^{3} 6xe^{3x} \text{d}x$ 的值，结果用精确形式表示。
18求 $3x \sin 2x$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \text{ d}x$ 的值。
19一个质点通过一个固定点 $O$ 并沿直线运动，在离开 $O$ 点 $t$ 秒后，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = \frac{3}{t+2} - \frac{t+2}{3}$ 给出。该质点在 $P$ 点达到距离 $O$ 的…
20一个质点在直线上运动，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = 9\sin\left(\frac{t}{2}\right)$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 之后的秒数。求质点在离开 $O$ 后首次瞬时静止时的 $t$ …
21图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
22图中显示了曲线 $y = e^{x-1} - 2$ 的一部分。点 $P(2,\ e-2)$ 在该曲线上，且曲线在点 $P$ 处的法线交 $x$ 轴于点 $Q$ 。用 $e$ 表示点 $Q$ 的 $x$ 坐标。求阴影区域的总面积。
23计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{2} \sin 3x - \cos^2 x \right) dx$ ，结果精确到两位小数。
24已知函数 $\mathrm{f}(x)$ 满足 $\mathrm{f}'(x) = 3 \sin x \cos x$ ，且 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 是 $\mathrm{f}(x)$ 图像上的一点。求…
25图中显示了曲线 $y = \sqrt{4x + 5}$ 的一部分。曲线在 $P$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $T$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为 5。已知 $PT$ 是 $PQ$ 的两倍，且 $RQ$ 平行于 $x$ 轴，求 $P$ 点…
26一条曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 6e^{3x} - x$ 且经过点 $\left(2, \frac{2}{3}e^6\right)$ 。已知当 $x = 0$ 时 $\frac{dy}{dx} = 5$ ，求该曲线的方…
27求阴影区域的面积。上图未按比例绘制。
28该图显示了曲线 $y = -3(2x-4)^{-1/3}$ 的一部分。点 $P(-2,\ 1.5)$ 位于该曲线上，且该曲线在点 $P$ 处的法线与 x 轴交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标。求由该曲线、法线 $PQ$ 和坐标轴围成的阴…
29图中显示了曲线 $y = \\sqrt{2x + 4}$ 的一部分，曲线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。曲线在点 $B$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。写出 $B$ 点的坐标。求 $C$ 点的坐标。…
30该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
31求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x \cos 2x)$ 。求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2 \sin 2x)$ 。利用第 (i) 和 (ii) 部分的结果，求 $\int x^2 \cos 2x \text{ d}x$ …
32已知 $y = (x-3)\sqrt{x+1}$ 。以 $\dfrac{ax-b}{2\sqrt{x+1}}$ 的形式求 $\dfrac{dy}{dx}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此求 $\displaystyle\int_0^3 \dfrac{9x}{\sqrt{x+1}}\,dx$ …
33图中显示了曲线 $y = 2\sin\frac{x}{2}$ 的一部分，其中点 $A$ 在该曲线上。点 $A$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{4\pi}{3}$ ，曲线在点 $A$ 处的法线与 $x$ 轴交于 $B$ 点，与 $y$ 轴…
34将 $\dfrac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}$ 展开为部分分式。求 $\ln\left(x^2 + 4\right)$ 对 $x$ 的导数。利用前两部分的结论，求 $\displaystyle \int_0^1 \frac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}\,\mathrm{d}x$ …
35一曲线的斜率函数为 $3\cos 4x - \sec^2 3x$ 。已知该曲线穿过点 $\left(\frac{\pi}{12}, \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{3}\right)$ ，求该曲线的方程。
36图中显示了曲线 $y = \frac{15}{(0.5x+1)}$ 的一部分和一条直线 $y = 1.25x - 10$ 。该直线与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，与 $x$ 轴相交于点 $Q$ ，与曲线相交于点 $R$ 。求 $P$ 和 $Q$ …
37一条满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = \sin 3x - \cos \frac{1}{2}x$ 的曲线通过点 $Q\left(\frac{\pi}{3}, 2\sqrt{3}\right)$ 。曲线在 $Q$ 点处的斜率为 1。…
38证明 $\frac{d}{dx} \left[ (2x)(3-5x)^{\frac{6}{5}} \right] = (6-22x)(3-5x)^{\frac{1}{5}}$ 。由此，求 $\int x(3-5x)^{\frac{1}{5}} dx$ …
39图中显示了曲线 $y = \frac{5}{2x - 1}$ 的一部分。直线 $9y = -10x + 55$ 与该曲线相交于点 $A$ 和 $B$ ，并与 $x$ 轴相交于点 $C$ 。 $CD$ 是与 $y$ 轴平行的直线。求点 $A$ 、 $B$ …
40该图显示了曲线 $y = \frac{7}{6x + 1}$ 的一部分与 $y$ 轴交于点 $A(0, 7)$ 。在点 $K(1, 1)$ 处的曲线切线与 $y$ 轴相交于点 $B$ 。求 $B$ 的坐标。求由曲线、切线 $KB$ 和 $y$ …
41一个质点沿直线运动，在经过定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，它相对于 $O$ 的位移为 $s$ 米。质点的速度 $v\ \mathrm{ms}^{-1}$ 满足 $v = 6\cos 4t$ 。写出质点的初速度。求当质点的加速度等于 $8\ \mathrm{ms}^{-2}$ …
42通过使用合适的代换，或用其他方法，解方程 $3\log_6 x = \log_x 3 + \log_x 2 + \log_5 25.$ 在给定的坐标系中画出 $y = \log_6 x$ 的函数图象草图。标出与坐标轴的所有交点。已知一…
43已知 $y = \sec x$ ，证明 $\frac{dy}{dx} = \sec x \tan x$ 。由此证明 $y^4 - y^2 = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ 。已知 $\frac{6x + 1}{2x + 1}$ …
44将 $\frac{13x - 6}{x^2(2x - 3)}$ 化为部分分式。由此求出 $\int \frac{13x - 6}{x^2(2x - 3)} \, dx$ 。
45已知一曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 36e^{3x} - e^{-x}$ 。该曲线与 $y$ 轴交于点 $Q(0, 5)$ ，且曲线在点 $Q$ 处的切线斜率为 14。求该曲线的方程。
46已知 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x(5x-2)}{\sqrt{2x-1}}$ 。确定 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ 是否始终为增函…
47一个质点 $P$ 沿直线运动，在离开定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 10e^{-2t} - 3$ 给出。求 $P$ 的初速度。求当 $t = 1$ 时 $P$ 的加速度。求当 $P$ 处于瞬时静…
48一个质点从点 P 向点 O 运动。在通过点 P 之后 $t$ 秒，质点的速度可以用公式 $v = (k - 2t)^n$ 来建模，其中 $k$ 和 $n$ 是常数。当 $t = 3.5$ 时，质点的速度为 27 m/s；当 $t = 8$ …
49求 $2x \cos 3x$ 关于 $x$ 的导数。由此，求 $\int x \sin 3x \text{ d}x$ 。
50求 $\frac{4}{x^2} - \frac{3}{1 - 5x} + \sin 5x - \pi$ 关于 $x$ 的积分。
51一条曲线的方程为 $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x - \sec^2 x$ 。由此求出 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec x \, dx$ …
52将 $\frac{3x^2 - 4}{x^2(3x - 2)}$ 表示为部分分式。由此，求 $\int \frac{3x^2 - 4}{x^2(3x - 2)} \, dx$ 的值。
53一辆在一条水平直路上来回行驶的踏板车以 $p\ \text{m s}^{-1}$ 的速度通过一个固定点 O。通过 O 点后 $t$ 秒，该踏板车的速度 $v\ \text{m s}^{-1}$ 由以下公式给出： $v = 7 - 8\sin \tfrac{1}{3}t.$ …
54将 $\frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\int \frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2} \, dx$ 。
55将 $\frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)}$ 化为部分分式。求 $\ln(x^2 + 1)$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int \frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)} \, dx$ …
56一个质点在一条直线上运动，其上有一固定点 $O$ 。质点的速度 $v$ m/s 由 $v = \dfrac{25}{2t+1} + 10$ 给出，其中 $t$ 是通过 $O$ 后的时间（以秒为单位）。解释为什么该质点从未改变其运动方向，并且…
57已知 $y = (2x - 1)^3 \ln \sqrt{2x - 1}$ 。证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 6(2x - 1)^2 \ln \sqrt{2x - 1} + (2x - 1)^2$ 。由此…
58求 $\left(\frac{6}{e^{3-x}}\right)^2$ 对 $x$ 的积分。写出计算过程，解释为什么方程 $2x^3 + 3x^2 + 2x + 8 = 0$ 只有 1 个实根。由此求出该根。
59图中展示了曲线 $y = \sqrt{3x-2}$ 的一部分。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。已知点 $B$ 的 $x$ 坐标为 9，求 $A$ 点和 $C$ 点的坐标，阴影区域的面积。
60已知 $f'(x) = \sin 3x - \frac{1}{2x + 1}$ 且 $f(0) = \frac{2}{3}$ 。求 $6f(x) + f''(x)$ 的表达式。