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积分作为微分的逆运算

这个知识点的练习题

1已知当 $x>0$ 时， $y = \dfrac{3\ln 2x}{x^2}$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{x^3}\left(1 - 2\ln 2x\right).$ 由此，求 $\displaystyle\int \frac{\ln 2x}{x^3}\,dx$ …
2一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
3已知 $f'(x)=6\cos 3x-12\sin 3x$ 且 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ 。求 $f(x)$ 。求 $f''\left(\frac{\pi}{12}\right)$ 的精确值。
4曲线 $y = f(x)$ 的斜率函数由 $\frac{36}{(2x+1)^2}$ 给出，其中 $x > -\frac{1}{2}$ 。曲线过点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 。求该曲线的方程。求曲线在 $x = 1$ …
5已知 $y = 4x \sin 2x$ 。证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 可以表示为 $ax \cos 2x + b \sin 2x$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $x$ 以每…
6将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
7已知函数 $f(x)$ 满足 $f'(x) = \sin 2x + \cos 3x$ 。又已知 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$ ，证明 $f''(x) + 9f(x) = -\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\cos 2x$ …
8求 $\ln\left(\frac{3x}{x^2+1}\right)$ 关于 $x$ 的导数。由此求出 $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ 。
9一曲线的方程为 $y = 2x\sqrt{2x+1}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。由此，求 $\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx$ …
10证明 $\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx$ 的精确值…
11求 $4xe^{3x}$ 关于 $x$ 的导数。由此求 $\int_{0}^{3} 6xe^{3x} \text{d}x$ 的值，结果用精确形式表示。
12求 $3x \sin 2x$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \text{ d}x$ 的值。
13已知 $y = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x$ ，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x $，并写出$ k $的值。由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.$ …
14回答所有问题已知曲线方程为 $y = 2x\sqrt{2x+1}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。由此求出 $\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx$ …
15已知一条曲线的导函数为 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{16}{x^3} - 4$ 。若直线 $2y - x - 6 = 0$ 是该曲线的一条法线，求该曲线的方程。
16已知函数 $\mathrm{f}(x)$ 满足 $\mathrm{f}'(x) = 3 \sin x \cos x$ ，且 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 是 $\mathrm{f}(x)$ 图像上的一点。求…
17一条曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 6e^{3x} - x$ 且经过点 $\left(2, \frac{2}{3}e^6\right)$ 。已知当 $x = 0$ 时 $\frac{dy}{dx} = 5$ ，求该曲线的方…
18分别求函数 $y = \ln x$ 和 $y = \ln 2x$ 的导数。解释为什么在第 (i) 问中，拥有相同的导数并不意味着这两个函数是同一个函数。
19证明 $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2} x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cot^{2} x\, dx$ 的值。
20一名骑行者从家 $O$ 出发沿一条笔直的道路运动。他的速度 $v\text{ m/min}$ 由 $v = 25 + 10t - 3t^2$ 给出，其中 $t$ 是离开 $O$ 后的时间（以分钟为单位）。计算当骑行者瞬时静止时的加速度，…
21求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x \cos 2x)$ 。求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2 \sin 2x)$ 。利用第 (i) 和 (ii) 部分的结果，求 $\int x^2 \cos 2x \text{ d}x$ …
22已知 $y = (x-3)\sqrt{x+1}$ 。以 $\dfrac{ax-b}{2\sqrt{x+1}}$ 的形式求 $\dfrac{dy}{dx}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此求 $\displaystyle\int_0^3 \dfrac{9x}{\sqrt{x+1}}\,dx$ …
23本题不接受通过精确作图得出的解。 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $AD$ 平行于 $BC$ 且垂直于 $AB$ 。 $E$ 是 $AD$ 上的一个点，且 $BE$ 穿过原点。点 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(3, -2)$ …
24图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
25已知 $y = e^x (1+\cos x)$ ，证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^x (1+\cos x - \sin x)$ 。由此，求 $\displaystyle \int e^x (\cos x - \sin x)\,dx$ …
26已知 $y = \dfrac{4x}{\sqrt{3-2x}}$ ，证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{12-4x}{\sqrt{(3-2x)^3}}$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{3 - x}{\sqrt{(3 - 2x)^3}}\, dx$ …
27将 $\dfrac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}$ 展开为部分分式。求 $\ln\left(x^2 + 4\right)$ 对 $x$ 的导数。利用前两部分的结论，求 $\displaystyle \int_0^1 \frac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}\,\mathrm{d}x$ …
28一曲线的斜率函数为 $3\cos 4x - \sec^2 3x$ 。已知该曲线穿过点 $\left(\frac{\pi}{12}, \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{3}\right)$ ，求该曲线的方程。
29一条满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = \sin 3x - \cos \frac{1}{2}x$ 的曲线通过点 $Q\left(\frac{\pi}{3}, 2\sqrt{3}\right)$ 。曲线在 $Q$ 点处的斜率为 1。…
30求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}\ln x\right)$ 。由此求出 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 。图中显示了直线 $x = 2$ 和曲线 $y = x\ln x$ …
31证明 $\frac{d}{dx} \left[ (2x)(3-5x)^{\frac{6}{5}} \right] = (6-22x)(3-5x)^{\frac{1}{5}}$ 。由此，求 $\int x(3-5x)^{\frac{1}{5}} dx$ …
32一条曲线满足 $\mathrm{f}''(x) = 6x - 10$ 。曲线 $y = \mathrm{f}(x)$ 在点 $(1, -2)$ 处的切线通过点 $(0, 13)$ 。求该曲线的方程。
33已知一曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 36e^{3x} - e^{-x}$ 。该曲线与 $y$ 轴交于点 $Q(0, 5)$ ，且曲线在点 $Q$ 处的切线斜率为 14。求该曲线的方程。
34已知 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x(5x-2)}{\sqrt{2x-1}}$ 。确定 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ 是否始终为增函…
35求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((2x-3)e^{2x}\bigr)$ 。由此计算 $\displaystyle\int_0^1 4xe^{2x}\,\mathrm{d}x$ 的值，结果用精确…
36求 $2x \cos 3x$ 关于 $x$ 的导数。由此，求 $\int x \sin 3x \text{ d}x$ 。
37求 $x \sin x + \cos x$ 对 $x$ 的导数。证明 $\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( \frac{1}{3} x \sin^3 x \right) = \frac{1}{3} \sin^3 x - x \cos^3 x + x \cos x$ …
38已知 $y = (x + 2)\sqrt{x - 1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{kx}{2\sqrt{x - 1}}$ ，其中 $k$ 为常数。由此已知 $y$ 以每秒 2 个单位…
39求 $\frac{4}{x^2} - \frac{3}{1 - 5x} + \sin 5x - \pi$ 关于 $x$ 的积分。
40一条曲线的方程为 $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x - \sec^2 x$ 。由此求出 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec x \, dx$ …
41已知一条曲线满足 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 - 3x$ ，且点 $P(2,5)$ 在该曲线上。该曲线在点 $P$ 处的斜率为 2。求该曲线的方程。
42已知某曲线满足 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} = 3x - 2$ 。该曲线在点 $A(4, -40)$ 处的切线平行于直线 $3x - y = 2$ 。求该曲线的方程。
43将 $\frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)}$ 化为部分分式。求 $\ln(x^2 + 1)$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int \frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)} \, dx$ …
44已知 $y = (2x - 1)^3 \ln \sqrt{2x - 1}$ 。证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 6(2x - 1)^2 \ln \sqrt{2x - 1} + (2x - 1)^2$ 。由此…
45 $f(x)$ 满足 $f''(x) = 18x - 4$ 。已知 $f(0) = 1$ 且 $f(2) = 9$ ，求 $f(x)$ 。证明 $x + 1$ 是一个因式。解方程 $f(x) = 0$ 。
46一个质点 $X$ 沿直线运动，在离开定点 $O$ 之后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = \frac{1}{2}t^2 - t - 4$ 给出。计算当速度最小时，质点 $X$ 的位移。求质点改变运动方向的时刻。求在前…
47已知 $f'(x) = \sin 3x - \frac{1}{2x + 1}$ 且 $f(0) = \frac{2}{3}$ 。求 $6f(x) + f''(x)$ 的表达式。
48证明 $\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x^4}\right) = \frac{1}{x^5} - \frac{4\ln x}{x^5}$ 。已知曲线 $y = \mathrm{f}(x)$ 穿过点 $\left(1, \frac{3}{4}\right)$ …
49一曲线的斜率函数为 $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} + 6 \cos 3x$ 。曲线上的点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 。存在一点 $Q$ 使得 $PQ$ …
50回答所有问题。对 $2xe^{1-2x}$ 关于 $x$ 求导。由此求出 $\int_{0}^{1} 2xe^{1-2x} \text{d}x$ 的准确值。确定下方两幅图中哪一幅是 $y = 2xe^{1-2x}$ 的图像。解释你的答…
51证明 $\frac{d}{dx}\left[x(3x-2)^{\frac{4}{3}}\right] = (7x-2)(3x-2)^{\frac{1}{3}}$ 。由此求 $\int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} dx$ 的值…
52将 $\frac{10x}{3-5x}$ 表示为 $a + \frac{b}{3-5x}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此，求 $\frac{10x}{3-5x}$ 关于 $x$ 的积分。
53曲线 $y = \text{f}(x)$ 满足 $\text{f}''(x) = 12\text{e}^{3x} + 7$ ，且点 $A\left(0, -\frac{2}{3}\right)$ 在该曲线上。曲线在点 $A$ 处的斜率为 9…
54已知一条曲线满足 $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{(7 - 2x)}$ ，且 $P(3, 1)$ 是该曲线上的一个点。求该曲线的方程。
55对 $2x \cos 2x$ 关于 $x$ 求导。由此，计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - 4x \sin 2x) \, dx$ 的值。
56已知一条曲线满足 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = \frac{12}{(3-2x)^2}$ 。若该曲线通过点 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 和 $\left(1, \ln(8e^2)\right)$ …
57求 $\ln\left(1+3x^2\right)^2$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\displaystyle \int \frac{6x}{1+3x^2}\, dx$ 。
58证明 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(2x \ln x) = 2 \ln x + 2$ 。一条曲线在任意点处的切线斜率为 $\ln x$ 且该曲线通过点 $(e^2, 4)$ 。利用（i）的结果，求该曲线的方程，结果用…
59一条曲线满足 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=3e^{2x}-e^{-x}$ 。该曲线与 y 轴交于点 P (0, 1)，且在点 P 处的斜率为 4。证明该曲线没有驻点。求该曲线的方程。
6013 求 $\displaystyle\int\left(\frac{3}{\sqrt{2+7x}}+\sin 5x\right)\,dx.$ 如果 $f'(x)=2x$ 且 $g'(x)=2x$ ，我们能否得出结论 $f(x)=g(x)$ ？…