$∫_{-2}^{2}(\sin x+\sqrt{4-x^{2}}){\rm d}x=(\quad)$

A. $4$

B. $2π$

C. $4+2π$

D. $8$

1. 利用定积分的性质将积分拆分为两部分

根据定积分的线性性质，可以将原积分拆分为两个部分：
$\int_{-2}^{2} (\sin x + \sqrt{4-x^2}) \mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} \sin x \mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} \mathrm{d}x$

2. 计算第一部分奇函数 sin x 在对称区间上的定积分

因为 $f(x) = \sin x$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且积分区间 $[-2, 2]$ 关于原点对称，根据奇函数在对称区间上的积分性质可知：
$\int_{-2}^{2} \sin x \mathrm{d}x = 0$
这里亦可通过微积分基本定理进行验证：
$\int_{-2}^{2} \sin x \mathrm{d}x = (-\cos x) \Big|_{-2}^{2} = -\cos 2 - (-\cos(-2)) = 0$

3. 利用几何意义计算第二部分被积函数的定积分

对于 $\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} \mathrm{d}x$，令 $y = \sqrt{4-x^2}$（其中 $y \ge 0$），双方平方整理得 $x^2 + y^2 = 4$（且 $y \ge 0$）。
这表示以原点为圆心，半径 $R = 2$ 的圆在 $x$ 轴及上方的半圆。
根据定积分的几何意义，该定积分的值等于此半圆的面积：
$S = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \times 2^2 = 2\pi$
所以：
$\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} \mathrm{d}x = 2\pi$

4. 求和并确定最终选项

将两部分结果相加：
$\int_{-2}^{2} (\sin x + \sqrt{4-x^2}) \mathrm{d}x = 0 + 2\pi = 2\pi$
因此，正确答案为 B。