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Properties of functions

Express monotonicity and maximum/minimum values symbolically, and understand the concepts and geometric meaning of parity and periodicity.

Practice questions

  1. 1对于函数f(x)=x2+2xf(x)=x^{2}+2x，在使f(x)⩾Mf(x)\geqslant M成立的所有实数MM中，我们把MM的最大值Mmax=−1M_{max}=-1叫做函数f(x)=x2+2xf(x)=x^{2}+2x的下确界，则对于a∈Ra∈R，…
  2. 2已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在RR上的偶函数，且在区间[0,+∞)[0,+\infty)上单调递增，若实数mm满足f(log⁡3m)⩾f(1)f({{\log}_{3}}m)\geqslant f(1)，则mm的取值范围为___.
  3. 3函数y=22sin⁡x−1y=\dfrac{2}{2\sin x-1}的值域是()(\quad) A. [−23,2]\left[-\dfrac{2}{3},2\right] B. (−∞,−23]∪[2,+∞)\left(-∞,-\dfrac{2}{3}\right]∪[2,+∞) …
  4. 4下列函数是偶函数的是()() A. y=2x2−3y=2x^{2}-3 B. y=x3y=x^{3} C. y=x2y=x^{2}，x∈[0,1]x∈[0,1] D. y=xy=x
  5. 5下列命题为真命题的是()(\quad) A. ∃x0∈R\text{∃} x_{0}\in R，x02+4x0+6⩽0x_{0}^{2}\text{+}4x_{0}+6\leqslant 0 B. 正切函数y=tan⁡xy=\tan x的定义域为RR…
  6. 6若函数f(x)=x2+2(a−1)x+2f(x)=x^{2}+2(a-1)x+2在区间(−∞,4](-∞,4]内递减，那么实数aa的取值范围为()(\quad) A. a⩽−3a\leqslant-3 B. a⩾−3a\geqslant-3 C. a⩽5a\leqslant 5…
  7. 7设函数f(x)f\left(x\right) 是定义在RR上的奇函数，且对任意x∈Rx∈R 都有f(x)=f(x+4)f\left(x\right)=f\left(x+4\right) ，当x∈(0,2)x∈\left(0,2\right) 时，f(x)=2xf\left(x\right)={2}^{x} …
  8. 8选修4−44-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOyxOy中，曲线C1C_{1}的参数方程为{x=3cos⁡α,y=sin⁡α(α\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos α, \\ y=\sin α\end{cases}(α为参数).).…
  9. 9设f(x)f(x)为定义在RR上的奇函数，当x⩾0x\geqslant 0时，f(x)=2x+2x+2017+a(af(x)={{2}^{x}}+2x+2017+a(a为常数))，则f(−1)=()f(-1)=() A. 33 B. 11 C. −3-3…
  10. 10若“m>am>a”是“函数f(x)= (13)x+m−13f(x)=\:(\dfrac{1}{3})^{x}+m-\dfrac{1}{3}的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数aa能取的最大整数为___.
  11. 11函数f（x）=sin|ax+1|的图象恒过定点___，若函数y=f（x）的图象的对称轴为x=1，则非零实数a的值为___．
  12. 12已知函数f(x)=1x2+axf(x)= \dfrac {1}{x^{2}}+ax是偶函数． ((Ⅰ))求aa的值； ((Ⅱ))判断函数f(x)f(x)在区间(0,+∞)(0,+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
  13. 13已知定义在RR上的函数f(x)f(x)对任意x∈Rx\in R恒有f′(x)<3f'(x)< 3，若f(−1)=−7f(-1)=-7，则不等式f(x)⩾3x−4f(x)\geqslant 3x-4的解集是()(\quad) A. (−∞,−1] (-∞,-1]\: …
  14. 14已知函数f(x)=2xx+1f(x)=\frac { 2x } { x+1 }． （1）用定义证明函数f(x)f(x)在区间(1，+∞)(1，+∞)上单调递增； （2）对任意x∈[2，4]x∈[2，4]都有f(x)≤mf(x)≤m成立，求实数mm…
  15. 15设f(x)f(x)在[a,+∞)[a,+∞)的导函数为f′(x)f'(x)，且当x>ax>a时，有f′(x)>k>0(kf'(x)>k>0(k为常数))，若f(a)<0f(a)< 0，则在区间(a,a−f(a)k)(a,a-\dfrac{f(a)}{k})内，方程f(x)=0f(x)=0…
  16. 16下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()(\quad) A. y=x+1y\text{=}x\text{+}1 B. y=-x2y\text{=-}x^{2} C. y=1xy\text{=}\dfrac{1}{x} D. y=x∣x∣y\text{=}x\left|x\right|…
  17. 17已知f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x，g(x)=−x2+ax−3(1)g(x)=-x^{2}+ax-3(1)对x∈(0,+∞)x∈(0,+∞)，不等式2f(x)⩾g(x)2f(x)\geqslant g(x)恒成立，求实数aa的取值范围； (2)证明：对一切x∈(0,+∞)x∈(0,+∞)…
  18. 18定义在RR上的函数f(x)f(x)满足：f(x)>1−f"(x)f(x) > 1-f{{"}}(x)，f(0)=0f(0)=0，f"(x)f{{"}}(x)是f(x)f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex−1({e}^{x}f(x) > {e}^{x}-1 (其中ee…
  19. 19若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以 为周期的周期函数．
  20. 20若方程2ax2−x−1=02a{{x}^{2}}-x-1=0在(0,1)(0,1)内恰有一解，则aa的取值范围是()() A. a<−1a < -1 B. a>1a > 1 C. −1<a<1-1 < a < 1 D. 0⩽a<10\leqslant a < 1…
  21. 21已知函数f(x)=a−22x+1(a>0)f(x)=a-\dfrac{2}{2^{x}+1}(a>0)的图象在直线y=1y=1的下方且无限接近直线y=1.(1)y=1.(1)判断函数的单调性((写出判断说明即可，无需证明))，并求函数解析式;(2);(2)判…
  22. 22已知函数f(x)f(x)是定义在RR上的偶函数，且当x⩾0x\geqslant 0时，f(x)=x2+x.f(x)=x^{2}+x.若f(a)f(a)十f(−a)<4f(-a) < 4，测实数aa的取值范围为___．
  23. 23已知f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣.(Ⅰ)f(x)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|.(Ⅰ)求f(x)f(x)在[−1,1][-1,1]上的最大值mm及最小值nn； (Ⅱ)(Ⅱ)在(Ⅰ)(Ⅰ)的条件下，设a,b∈Ra,b\in R…
  24. 24已知aa是正数，若互不相等的正实数xx，yy满足等式(2x−ye)⋅ln⁡yx=xae\left(2x- \dfrac{y}{e}\right)·\ln \dfrac{y}{x}= \dfrac{x}{ae} ，则aa的最小值为 A. ee…
  25. 25已知m>1m>1，n>1n>1，且ln⁡m−ln⁡n=2n−m\ln m-\ln n=2n-m，下列结论正确的是()(\quad) ①(12)m<(12)n(\dfrac{1}{2})^{m}< (\dfrac{1}{2})^{n}；②nm>n+1m+1\dfrac{n}{m}>\dfrac{n+1}{m+1}…
  26. 26∫−22(sin⁡x+4−x2)dx=()∫_{-2}^{2}(\sin x+\sqrt{4-x^{2}}){\rm d}x=(\quad) A. 44 B. 2π2π C. 4+2π4+2π D. 88
  27. 27若函数f(x)=ex−1xf(x)=\dfrac{e^{x-1}}{x}，g(x)=x1+ln⁡xg(x)=\dfrac{x}{1+\ln x}，存在x1x_{1}、x2x_{2}使得f(x1)=g(x2)f({x}_{1})=g({x}_{2})，则下列说法不正确的是()(\quad)…
  28. 28已知y=f(x+π6)y=f(x+\dfrac{π}{6})是周期为ππ的偶函数，则函数f(x)=f(x)=___.(.(写出符合条件的一个函数解析式即可).).
  29. 29已知过点P(1,32)P(1,\dfrac{3}{2})的曲线CC的方程为(x−1)2+y2+(x+1)2+y2=2a.(Ⅰ)\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2a.(Ⅰ)求曲线CC的标准…
  30. 30已知函数f(x)f\left(x\right)是定义在RR上的偶函数，且f(0)=0f\left(0\right)=0，当x>0x>0时，f(x)=log⁡2(x+1).(1)f\left(x\right)={{\log}_{2}}\left(x+1\right).(1)…
  31. 31若函数y=x3+x2+mx+1y=x^{3}+x^{2}+mx+1是RR上的单调函数，则实数mm的取值范围是()() A. (13,+∞)( \dfrac{1}{3} ,+∞) B. (−∞,13](-∞, \dfrac{1}{3} ] C. [13,+∞)[ \dfrac{1}{3} ,+∞)…
  32. 32∀x∈(0,+∞)∀x\in(0,+∞)，不等式xex−3−x−ln⁡x⩾axe^{x-3}-x-\ln x\geqslant a恒成立，则aa的最大值为()(\quad) A. −2-2 B. 00 C. e−2−1e^{-2}-1 D. −ln⁡3-\ln 3…
  33. 33在y=3xy=3^{x}，y=log⁡0.3xy=\log _{0.3}x，y=x3y=x^{3}，y=xy= \sqrt {x}，这四个函数中当0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1时，使f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f( \dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}) < \dfrac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}…
  34. 34函数f(x)=xax+b(a,bf(x)=\dfrac{x}{ax+b}(a,b为常数))满足：点(2,1)(2,1)在f(x)f(x)的图象上，方程f(x)=xf(x)=x有唯一解． (1)求f(x)f(x)的解析式； (2)判断f(x)f(x)在(−2,+∞)(-2,+∞)…
  35. 35“a>ba > b“是“a3>b3a^{3} > b^{3}”的()() A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
  36. 36新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250250万元，每生产 xx 千件需另投入成本为 C(x).C\left({x}\right).当年产量不足8080千件时， C(x)=13x2+10x(C\left({x}\right)=\dfrac{1}{3}x^{2}+10x(…
  37. 37定义域为RR的可导函数y=f(x)y=f(x)的导函数为f′(x)f'(x)，满足f(x)>f′(x)f(x)>f'(x)，且f(1)=2f(1)=2，则不等式f(x)<2ex−1f(x)< 2e^{x-1}的解集为()(\quad) A. (1,+∞)(1,+\infty)…
  38. 38已知函数f(x)=2x2−4x+af(x)=2x^{2}-4x+a，函数g(x)=log⁡ax(a>0,g(x)=\log_{a}x(a>0,且a≠1).(1)a≠1).(1)若函数f(x)f(x)在区间[−1,2m][-1,2m]上不具有单调性，求实数mm的取值范围； (2)若f(1)=g(1). f(1)=g(1).\: …
  39. 39若不等式tt2+9⩽μ⩽t2+3t+3\dfrac{t}{t^{2}+9}\leqslant μ\leqslant\dfrac{\sqrt{t^{2}+3}}{t+\sqrt{3}}对任意的t∈(0,2]t\in(0,2]上恒成立，则μμ的取值范围是()(\quad)…
  40. 40定义在R上的周期函数f（x）是偶函数，若f（x）的最小正周期为4，且当x∈[0，2]时，f（x）=2-x，则f（2008）= ．
  41. 41已知正数xx，yy满足yln⁡x+yln⁡y=exy\ln x+y\ln y=e^{x}，则xy−2xxy-2x的最小值为()(\quad) A. 12ln⁡2\dfrac{1}{2}\ln 2 B. 2−2ln⁡22-2\ln 2 C. −12ln⁡2-\dfrac{1}{2}\ln 2…
  42. 42某公司在A、B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中甲地需15台，乙地需13台．已知从A地运一台到甲地的运费为500元，到乙地为400元；从B地运一台到甲地的运费为300元，到乙地为600元．请你帮助算一算，怎样调运花费…
  43. 43下列函数中，定义域为RR的偶函数是()(\quad) A. y=2xy=2^{x} B. y=x∣x∣y=x|x| C. y=∣x2−1∣y=|x^{2}-1| D. y=log⁡2∣x∣y=\log_{2}|x|
  44. 44已知0<a<50< a< 5且aln⁡5=5ln⁡aa\ln 5=5\ln a，0<b<60< b< 6且bln⁡6=6ln⁡bb\ln 6=6\ln b，0<c<70< c< 7且cln⁡7=7ln⁡cc\ln 7=7\ln c，则aa，bb，cc的大小关系为()(\quad)…
  45. 45定义：[x][x]表示不大于xx的最大整数，例如：[2.3]=2[2.3]=2，[1]=1.[1]=1.以下结论：①[−1.21]=−2[-1.21]=-2；②[a−1]=[a]−1[a-1]=[a]-1；③当−1<x<1-1 < x < 1时，[1+x]+[1−x][1+x]+[1-x]…
  46. 46若函数f(x)=x2+2(a−1)x+2f(x)=x ^{2} +2(a-1)x+2在区间(−1,+∞)(-1 , +∞)为增函数，则aa的取值范围为(    )(\:\:\:\:) A. (−∞,−2](-∞ , -2] B. (−∞,−2)(-∞ , -2) C. (2,+∞)(2 , +∞)…
  47. 47己知函数y=(k−2)xk2−5y=(k-2){{x}^{{{k}^{2}}-5}}为反比例函数． (1)求kk的值； (2)求出−2⩽x⩽−12-2\leqslant x\leqslant -\dfrac{1}{2} 时，yy的取值范围．
  48. 48设函数f(x)={2x,x⩽0,log2x,x>0,f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x},x\leqslant 0,\\log_{2}x,x>0,\end{array}\right.对任意给定的y∈(2,+∞)y\in(2,+∞)，都存在唯一的x∈Rx\in R…
  49. 49设f（x）为定义在R上的奇函数，且是周期为4的周期函数，f（1）=1，则f（-1）+f（8）=（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
  50. 50函数f（x）=|x+3|的单调递增区间为 ．
  51. 51已知a < 0,a\text{ < }0,函数f(x)=acos⁡x+1+sin⁡x+1−sin⁡xf\left(x\right)=a\cos x+\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}，其中x∈[−π2,π2].(1)x{\in}\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].(1)…
  52. 52函数f(x)=ax3+(a−1)x2+48(a−2)x+bf(x)=ax^{3}+(a-1)x^{2}+48(a-2)x+b的图象关于原点对称，则f(x)f(x)在[−4,4][-4,4]上()() A. 单调递增 B. 单调递减 C. [−4,0][-4,0]单调递增，[0,4][0,4]…
  53. 53下列叙述正确的是 ()(\quad) A. y=tan⁡xy=\tan x的定义域是R              R\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: B. y=xy=\sqrt{x}的值域为RR C. y=1xy=\dfrac{1}{x}…
  54. 54f(x)f(x)是定义在[−2,2][-2,2]上的偶函数，且f(x)f(x)在[0,2][0,2]上单调递减，若f(1−m)<f(m)f(1-m) < f(m)成立，求实数mm的取值范围 ___ ．
  55. 55已知函数f(x)f(x)和g(x)g(x)的定义域均为[a,b][a,b]，记f(x)f(x)的最大值为M1M_{1}，g(x)g(x)的最大值为M2M_{2}，则使得“M1>M2M_{1}>M_{2}”成立的充要条件为()(\quad)…
  56. 56已知函数f(x)={x2+4x⩾04x−x2<0f(x)=\begin{cases}{x}^{2}+4x\geqslant 0 \\ 4x-{x}^{2} < 0\end{cases} ，若f(2−a2)>f(a)f\left(2-{a}^{2}\right) > f\left(a\right) …
  57. 57若函数f(x)f\left( x \right)在定义域DD内的某个区间II上是增函数，且F(x)=f(x)xF\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}在II上也是增函数， 则称 y=f(x)y=f\left( x \right)…
  58. 58已知函数g(x)=2x−12xg(x)=2^{x}- \dfrac {1}{2^{x}}，若f(x)={g(x),x⩾0g(−x),x<0f(x)= \begin{cases} g(x),x\geqslant 0 \\ g(-x),x < 0\end{cases}，则函数f(x)f(x)在定…
  59. 59若函数f（x）=x（x∈R），则函数y=-f（x）在其定义域内是（ ） A. 单调递增的偶函数 B. 单调递增的奇函数 C. 单调递减的偶函数 D. 单调递减的奇函数
  60. 60已知f(x)={−x2+2ax,(x⩽1)(2a−1)x−3a+6,(x>1)f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{{x}^{2}}\text{+}2ax,(x\leqslant 1)\\ (2a-1)x-3a+6,(x>1)\\\end{array}\right.，若f(x)f(x)…