已知$0< a< 5$且$a\ln 5=5\ln a$，$0< b< 6$且$b\ln 6=6\ln b$，$0< c< 7$且$c\ln 7=7\ln c$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为$(\quad)$

A. $a>c>b$

B. $a>b>c$

C. $c>a>b$

D. $c>b>a$

1. 构造辅助函数并转化已知等式

已知 $0 < a < 5$ 且 $a\ln 5 = 5\ln a$，由于 $a > 0$，等式两边同除以 $5a$ 可得：
$\frac{\ln a}{a} = \frac{\ln 5}{5}$
同理，由 $b\ln 6 = 6\ln b$ 可得 $\dfrac{\ln b}{b} = \dfrac{\ln 6}{6}$；
由 $c\ln 7 = 7\ln c$ 可得 $\dfrac{\ln c}{c} = \dfrac{\ln 7}{7}$。
构造函数 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$（$x > 0$），则上述等式可转化为 $f(a) = f(5)$，$f(b) = f(6)$，$f(c) = f(7)$。

2. 利用导数分析辅助函数 $f(x)$ 的单调性

对 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ 求导，得：
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
令 $f'(x) > 0$，解得 $0 < x < e$，所以 $f(x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递增；
令 $f'(x) < 0$，解得 $x > e$，所以 $f(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上单调递减。

3. 比较 $f(5)$、$f(6)$、$f(7)$ 的大小，并确定 $a, b, c$ 所在的区间

因为 $5 < 6 < 7$，且都在区间 $(e, +\infty)$ 上，而 $f(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上单调递减，
所以 $f(5) > f(6) > f(7)$，即 $f(a) > f(b) > f(c)$。
又因为 $f(5) > 0$ 且 $5 > e$，根据单调性可知，满足 $f(a) = f(5)$ 且 $0 < a < 5$ 的 $a$ 必在区间 $(1, e)$ 内。
同理，满足 $f(b) = f(6)$ 且 $0 < b < 6$ 的 $b$ 必在区间 $(1, e)$ 内；
满足 $f(c) = f(7)$ 且 $0 < c < 7$ 的 $c$ 必在区间 $(1, e)$ 内。
即 $a, b, c \in (1, e)$。

4. 比较 $a, b, c$ 的大小关系

因为 $a, b, c \in (1, e)$，且 $f(x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递增，
由于 $f(a) > f(b) > f(c)$，
所以 $a > b > c$。
故选 B。