若函数$f\left( x \right)$在定义域$D$内的某个区间$I$上是增函数，且$F\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$在$I$上也是增函数， 则称 $y=f\left( x \right)$ 是 $I$ 上的“完美函数”.已知$g(x)=e^{x}+x-\ln \left(x\right) +1$ ，若函数 $g\left( x \right)$ 是区间 $\left[ \dfrac{m}{2},+\infty \right)$ 上的“完美函数”，则整数 $m$ 的最小值为___．

1. 由“完美函数”的定义将问题转化为求导数不等式的恒成立问题

根据定义，若 $g(x)$ 在 $\left[ \dfrac{m}{2},+\infty \right)$ 上是“完美函数”，则 $g(x)$ 和 $G(x)=\dfrac{g(x)}{x}$ 在 $\left[ \dfrac{m}{2},+\infty \right)$ 上均单调递增。
因此，在区间 $\left[ \dfrac{m}{2},+\infty \right)$ 上，$g'(x) \ge 0$ 且 $G'(x) \ge 0$ 恒成立。

2. 分析 $g(x)$ 的单调性，确定 $g'(x) \ge 0$ 的区间范围

求导得 $g'(x) = e^x + 1 - \dfrac{1}{x}$ （$x > 0$）。
由于 $g''(x) = e^x + \dfrac{1}{x^2} > 0$，故 $g'(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
又 $g'\left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{e} - 1 > 0$，所以当 $x \ge \dfrac{1}{2}$ 时，$g'(x) > 0$。
因此，$g(x)$ 在 $\left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right)$ 上单调递增。所以要使 $g(x)$ 在 $\left[\dfrac{m}{2}, +\infty\right)$ 上单调递增，只需 $\dfrac{m}{2} \ge \dfrac{1}{2}$ 即 $m \ge 1$。

3. 求 $G(x)$ 的导数，将其单调递增转化为研究分子函数 $h(x)$ 的正负

计算 $G(x) = \dfrac{e^x + x - \ln x + 1}{x}$ 的导数：
$G'(x) = \frac{g'(x)x - g(x)}{x^2} = \frac{x(e^x + 1 - \frac{1}{x}) - (e^x + x - \ln x + 1)}{x^2} = \frac{(x-1)e^x + \ln x - 2}{x^2}$
令 $h(x) = (x-1)e^x + \ln x - 2$ （$x > 0$）。
若 $G(x)$ 在 $\left[\dfrac{m}{2}, +\infty\right)$ 上单调递增，则在该区间内 $h(x) \ge 0$ 恒成立。

4. 分析 $h(x)$ 的单调性，利用零点存在定理估算其零点范围

求导得 $h'(x) = e^x + (x-1)e^x + \dfrac{1}{x} = xe^x + \dfrac{1}{x}$。
当 $x > 0$ 时，$h'(x) > 0$，所以 $h(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
代入特殊值估算：
$h(1) = -2 < 0$，
$h\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}e^{3/2} + \ln\dfrac{3}{2} - 2 \approx \dfrac{1}{2} \times 4.48 + 0.405 - 2 = 0.645 > 0$。
根据零点存在定理，$h(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有唯一零点 $x_0$，且 $x_0 \in \left(1, \dfrac{3}{2}\right)$。
当 $x \ge x_0$ 时，$h(x) \ge 0$，此时 $G'(x) \ge 0$。

5. 综合条件，确定整数 $m$ 的最小值

为了使 $g(x)$ 与 $G(x)$ 在 $\left[\dfrac{m}{2}, +\infty\right)$ 上均单调递增，需要：
$\dfrac{m}{2} \ge x_0$ 且 $\dfrac{m}{2} \ge \dfrac{1}{2}$。
因为 $x_0 > 1 > \dfrac{1}{2}$，所以只需 $\dfrac{m}{2} \ge x_0$，即 $m \ge 2x_0$。
已知 $1 < x_0 < \dfrac{3}{2}$，所以 $2 < 2x_0 < 3$。
由于 $m$ 为整数，因此 $m$ 的最小值为 $3$。