已知$a$是正数，若互不相等的正实数$x$，$y$满足等式$\left(2x- \dfrac{y}{e}\right)·\ln \dfrac{y}{x}= \dfrac{x}{ae}$，则$a$的最小值为

A. $e$

B. $\dfrac{1}{{e}^{2}}$

C. $\dfrac{1}{2{e}^{2}}$

D. $\dfrac{1}{e}$

1. 通过换元简化等式并确定新变量的取值范围

已知等式为 $\left(2x- \dfrac{y}{e}\right)\cdot\ln \dfrac{y}{x}= \dfrac{x}{ae}$。
因为 $x > 0$，等式两边同除以 $x$，可得：
$\left(2 - \dfrac{y}{ex}\right)\cdot\ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{ae}$
两边同乘以 $e$，得：
$\left(2e - \dfrac{y}{x}\right)\cdot\ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{a}$
设 $t = \dfrac{y}{x}$。因为 $x, y$ 是互不相等的正实数，所以 $t > 0$ 且 $t \neq 1$。
等式化为 $(2e - t)\ln t = \dfrac{1}{a}$，即 $a = \dfrac{1}{(2e - t)\ln t}$。
因为 $a > 0$，所以 $(2e - t)\ln t > 0$。
当 $t > 1$ 时，$\ln t > 0$，则 $2e - t > 0 \implies t < 2e$，故 $1 < t < 2e$；
当 $0 < t < 1$ 时，$\ln t < 0$，则 $2e - t < 0 \implies t > 2e$，无解。
因此，变量 $t$ 的取值范围为 $t \in (1, 2e)$，且 $a = \dfrac{1}{(2e - t)\ln t}$。

2. 构造函数并对其求导

令 $g(t) = (2e - t)\ln t$，其中 $t \in (1, 2e)$。
对 $g(t)$ 求导，得：
$g'(t) = -\ln t + \dfrac{2e - t}{t} = \dfrac{2e}{t} - 1 - \ln t$。
令 $h(t) = \dfrac{2e}{t} - 1 - \ln t$。

3. 利用导数分析函数单调性并求其最大值

对 $h(t)$ 求导，可得 $h'(t) = -\dfrac{2e}{t^2} - \dfrac{1}{t}$。
因为 $t \in (1, 2e)$，所以 $h'(t) < 0$ 恒成立，即 $h(t)$ 在 $(1, 2e)$ 上单调递减。
注意到 $h(e) = \dfrac{2e}{e} - 1 - \ln e = 2 - 1 - 1 = 0$。
当 $1 < t < e$ 时，$h(t) > 0$，即 $g'(t) > 0$，此时 $g(t)$ 单调递增；
当 $e < t < 2e$ 时，$h(t) < 0$，即 $g'(t) < 0$，此时 $g(t)$ 单调递减。
因此，当 $t = e$ 时，$g(t)$ 取得最大值，最大值为 $g(e) = (2e - e)\ln e = e$。

4. 求得a的最小值并得出结论

因为 $a = \dfrac{1}{g(t)}$ 且 $g(t)$ 在 $t \in (1, 2e)$ 上的最大值为 $e$，
所以 $a$ 的最小值为 $\dfrac{1}{g(e)} = \dfrac{1}{e}$。
故选 D。