已知$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{{x}^{2}}\text{+}2ax,(x\leqslant 1)\\ (2a-1)x-3a+6,(x>1)\\\end{array}\right.$，若$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数，则实数$a$取值范围是$(\quad)$

A. $\left(\dfrac{1}{2},1\right]$

B. $\left[1,2\right]$

C. $\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$

D. $\left[1,+\infty\right)$

1. 确定第一段二次函数在指定区间上单调递增的条件

对于分段函数的第一段 $y = -x^2 + 2ax$ （$x \leqslant 1$），它是开口向下的抛物线，对称轴为 $x = a$。
要使其在 $(-\infty, 1]$ 上单调递增，对称轴必须在区间右侧或重合，即：
$a \geqslant 1$

2. 确定第二段一次函数在指定区间上单调递增的条件

对于分段函数的第二段 $y = (2a-1)x - 3a + 6$ （$x > 1$），它是一条直线。
要使其在 $(1, +\infty)$ 上单调递增，直线的斜率必须大于 $0$，即：
$2a - 1 > 0 \implies a > \frac{1}{2}$

3. 分析分段函数在分界点处的连续单调性关系

为了保证 $f(x)$ 在整个定义域 $(-\infty, +\infty)$ 上是增函数，左半段在 $x=1$ 处的函数值不能大于右半段在 $x \to 1^+$ 时的极限值（即分界点处不能向下跳跃）。
因此有：
$-1^2 + 2a \cdot 1 \leqslant (2a-1) \cdot 1 - 3a + 6$
化简得：
$-1 + 2a \leqslant 2a - 1 - 3a + 6$
$3a \leqslant 6 \implies a \leqslant 2$

4. 求出参数 $a$ 的交集范围并得出结论

联立以上不等式组：
$\left\{\begin{array}{l}a \geqslant 1 \\ a > \dfrac{1}{2} \\ a \leqslant 2\end{array}\right.$
解得：
$1 \leqslant a \leqslant 2$
所以实数 $a$ 的取值范围是 $[1, 2]$，对应选项 B。