下列函数中，既是奇函数又是增函数的为$(\quad)$

A. $y\text{=}x\text{+}1$

B. $y\text{=-}x^{2}$

C. $y\text{=}\dfrac{1}{x}$

D. $y\text{=}x\left|x\right|$

1. 检验各选项函数的奇偶性

根据奇函数定义 $f(-x) = -f(x)$：

• 对于 A 选项 $y = f(x) = x + 1$，$f(-x) = -x + 1 eq -f(x)$ 且 $f(-x) eq f(x)$，为非奇非偶函数；
• 对于 B 选项 $y = f(x) = -x^2$，$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = f(x)$，为偶函数；
• 对于 C 选项 $y = f(x) = \dfrac{1}{x}$，$f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -f(x)$，为奇函数；
• 对于 D 选项 $y = f(x) = x|x|$，$f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$，为奇函数。

故符合奇函数条件的有 C、D 选项。

2. 检验 C、D 选项函数的单调性并确定最终答案

根据增函数的定义：

• 对于 C 选项 $y = \dfrac{1}{x}$，在其定义域 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 上，在区间 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 内分别单调递减，不是增函数；
• 对于 D 选项 $y = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$，当 $x \ge 0$ 时，$y = x^2$ 单调递增；当 $x < 0$ 时，$y = -x^2$ 单调递增，且在 $x = 0$ 处连续，因此在 $\mathbb{R}$ 上是单调递增函数。

综上所述，既是奇函数又是增函数的为 D 选项。