若不等式$\dfrac{t}{t^{2}+9}\leqslant μ\leqslant\dfrac{\sqrt{t^{2}+3}}{t+\sqrt{3}}$对任意的$t\in(0,2]$上恒成立，则$μ$的取值范围是$(\quad)$

A. $[\dfrac{1}{6},2\sqrt{7}-\sqrt{21}]$

B. $[\dfrac{2}{13},2\sqrt{7}-\sqrt{21}]$

C. $[\dfrac{1}{6},\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$

D. $[\dfrac{2}{13},\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$

1. 将不等式恒成立问题等价转化为求函数最值的问题

设 $f(t) = \dfrac{t}{t^2+9}$， $g(t) = \dfrac{\sqrt{t^2+3}}{t+\sqrt{3}}$，其中 $t \in (0, 2]$。
若不等式 $f(t) \leqslant \mu \leqslant g(t)$ 对任意 $t \in (0, 2]$ 恒成立，
则其等价于：
$f(t)_{\max} \leqslant \mu \leqslant g(t)_{\min}$

2. 利用函数单调性求出 $f(t)$ 在区间 $(0, 2]$ 上的最大值

分析 $f(t) = \dfrac{t}{t^2+9}$ 在 $t \in (0, 2]$ 上的单调性：
由于 $t > 0$，可将 $f(t)$ 改写为 $f(t) = \dfrac{1}{t + \frac{9}{t}}$。
令 $h(t) = t + \dfrac{9}{t}$，其导数 $h'(t) = 1 - \dfrac{9}{t^2} = \dfrac{t^2-9}{t^2}$。
当 $t \in (0, 2]$ 时，$t^2 - 9 < 0$，故 $h'(t) < 0$，函数 $h(t)$ 在 $(0, 2]$ 上单调递减。
因此，$f(t) = \dfrac{1}{h(t)}$ 在 $(0, 2]$ 上单调递增。
所以，当 $t = 2$ 时，$f(t)$ 取得最大值：
$f(t)_{\max} = f(2) = \dfrac{2}{2^2+9} = \dfrac{2}{13}$

3. 利用导数求出 $g(t)$ 在区间 $(0, 2]$ 上的最小值

对 $g(t) = \dfrac{\sqrt{t^2+3}}{t+\sqrt{3}}$ 求导：
$g'(t) = \frac{\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}(t+\sqrt{3}) - \sqrt{t^2+3}}{(t+\sqrt{3})^2} = \frac{t(t+\sqrt{3}) - (t^2+3)}{\sqrt{t^2+3}(t+\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3}t - 3}{\sqrt{t^2+3}(t+\sqrt{3})^2}$
令 $g'(t) = 0$，解得 $t = \sqrt{3}$。
当 $t \in (0, \sqrt{3})$ 时，$g'(t) < 0$，$g(t)$ 单调递减；
当 $t \in (\sqrt{3}, 2]$ 时，$g'(t) > 0$，$g(t)$ 单调递增。
因此，当 $t = \sqrt{3}$ 时，$g(t)$ 取得极小值，也是最小值：
$g(t)_{\min} = g(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2+3}}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. 综合得出 $\mu$ 的取值范围并确定选项

综合以上结果，要使不等式恒成立，$\mu$ 需满足：
$\frac{2}{13} \leqslant \mu \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$
故 $\mu$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2}{13}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$，对应选项 D。