已知函数$f(x)=\frac { 2x } { x+1 }$． （1）用定义证明函数$f(x)$在区间$(1，+∞)$上单调递增； （2）对任意$x∈[2，4]$都有$f(x)≤m$成立，求实数$m$的取值范围．

1. 设值并写出函数值之差

任取 $x_1, x_2 \in (1, +\infty)$，且 $x_1 < x_2$．
计算 $f(x_2) - f(x_1)$：
$f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2}{x_2+1} - \frac{2x_1}{x_1+1}$

2. 通分并化简差值代数式

将上式通分，得：
$f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2(x_1+1) - 2x_1(x_2+1)}{(x_2+1)(x_1+1)}$
$= \frac{2x_1x_2 + 2x_2 - 2x_1x_2 - 2x_1}{(x_2+1)(x_1+1)}$
$= \frac{2(x_2 - x_1)}{(x_2+1)(x_1+1)}$

3. 判断符号并得出单调性结论

因为 $x_2 > x_1 > 1$，所以 $x_2 - x_1 > 0$，且 $x_1 + 1 > 0$，$x_2 + 1 > 0$，
故 $(x_2+1)(x_1+1) > 0$，
从而 $f(x_2) - f(x_1) > 0$，即 $f(x_2) > f(x_1)$．
所以函数 $f(x)$ 在区间 $(1, +\infty)$ 上单调递增．

1. 将恒成立问题转化为最值问题

因为对任意 $x \in [2, 4]$ 都有 $f(x) \le m$ 成立，
所以只需 $m \ge f(x)_{\max}$ 在 $x \in [2, 4]$ 上成立．

2. 利用单调性确定函数的最大值

由（1）知，函数 $f(x)$ 在区间 $(1, +\infty)$ 上单调递增，
因为 $[2, 4] \subseteq (1, +\infty)$，
所以 $f(x)$ 在区间 $[2, 4]$ 上单调递增．
故当 $x = 4$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值，
$f(x)_{\max} = f(4) = \frac{2 \times 4}{4+1} = \frac{8}{5}$

3. 得出实数 m 的取值范围

因此，只需 $m \ge \frac{8}{5}$．
即实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{5}, +\infty\right)$．