已知函数$f(x)=a-\dfrac{2}{2^{x}+1}(a>0)$的图象在直线$y=1$的下方且无限接近直线$y=1.(1)$判断函数的单调性$($写出判断说明即可，无需证明$)$，并求函数解析式$;(2)$判断函数的奇偶性并用定义证明$;(3)$求函数$f(x)$的值域.

1. 判断并说明函数的单调性

因为 $x \in \mathbb{R}$ 时，指数函数 $2^x$ 单调递增，则 $2^x+1$ 单调递增，
所以 $\dfrac{2}{2^x+1}$ 单调递减，
从而 $-\dfrac{2}{2^x+1}$ 单调递增，
由于常数 $a$ 不改变函数的增减性，因此 $f(x) = a - \dfrac{2}{2^x+1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

2. 根据渐近线性质求出常数 $a$ 并写出函数解析式

因为对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $2^x > 0$，所以 $2^x+1 \in (1, +\infty)$，
进而 $\dfrac{2}{2^x+1} \in (0, 2)$，
所以 $-\dfrac{2}{2^x+1} \in (-2, 0)$，
由此可得 $f(x) = a - \dfrac{2}{2^x+1} \in (a-2, a)$。
又因为函数 $f(x)$ 的图象在直线 $y=1$ 的下方且无限接近直线 $y=1$，
可知当 $x \to +\infty$ 时，$\dfrac{2}{2^x+1} \to 0$，从而 $f(x) \to a$，
因此 $a=1$。
所以函数的解析式为 $f(x) = 1 - \dfrac{2}{2^x+1}$。

1. 确定函数的定义域对称性并给出判断结论

由（1）知 $f(x) = 1 - \dfrac{2}{2^x+1}$，该函数的定义域为 $\mathbb{R}$，定义域关于原点对称。
判断得函数 $f(x)$ 为奇函数。

2. 用定义式证明奇偶性

对于任意 $x \in \mathbb{R}$，有：
$f(-x) = 1 - \dfrac{2}{2^{-x}+1} = 1 - \dfrac{2}{\frac{1}{2^x}+1} = 1 - \dfrac{2\cdot 2^x}{2^x+1}$
由于
$f(-x) + f(x) = \left(1 - \dfrac{2\cdot 2^x}{2^x+1}\right) + \left(1 - \dfrac{2}{2^x+1}\right)$
$= 2 - \dfrac{2\cdot 2^x + 2}{2^x+1} = 2 - \dfrac{2(2^x+1)}{2^x+1} = 2 - 2 = 0$
所以 $f(-x) = -f(x)$，
故函数 $f(x)$ 为奇函数。

1. 结合（1）中对取值范围的分析求解值域

由（1）中分析可知，当 $x \in \mathbb{R}$ 时，$\dfrac{2}{2^x+1} \in (0, 2)$，
所以 $f(x) = 1 - \dfrac{2}{2^x+1} \in (1-2, 1)$，即 $f(x) \in (-1, 1)$。
因此，函数 $f(x)$ 的值域为 $(-1, 1)$。