已知函数$f(x)$和$g(x)$的定义域均为$[a,b]$，记$f(x)$的最大值为$M_{1}$，$g(x)$的最大值为$M_{2}$，则使得“$M_{1}>M_{2}$”成立的充要条件为$(\quad)$

A. $∀x_{1}\in[a,b]$，$∀x_{2}\in[a,b]$，$f(x_{1})>g(x_{2})$

B. $∀x_{1}\in[a,b]$，$∃x_{2}\in[a,b]$，$f(x_{1})>g(x_{2})$

C. $∃x_{1}\in[a,b]$，$∀x_{2}\in[a,b]$，$f(x_{1})>g(x_{2})$

D. $∀x\in[a,b]$，$f(x)>g(x)$

1. 将命题“$M_1 > M_2$”用函数最值定义进行转化

因为 $M_1$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，$M_2$ 是 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，所以：

1. 对于定义域内的任意 $x_1$，都有 $f(x_1) \leqslant M_1$，且存在 $x_1^{(0)} \in [a,b]$ 使得 $f\left(x_1^{(0)}\right) = M_1$；
2. 对于定义域内的任意 $x_2$，都有 $g(x_2) \leqslant M_2$，且存在 $x_2^{(0)} \in [a,b]$ 使得 $g\left(x_2^{(0)}\right) = M_2$。
   因此，“$M_1 > M_2$”等价于“存在 $x_1 \in [a,b]$，使得 $f(x_1) > M_2$”，即存在 $x_1 \in [a,b]$，使得对任意的 $x_2 \in [a,b]$，都有 $f(x_1) > g(x_2)$。

2. 分析检验各选项的充分性与必要性，确定正确选项

分析各选项：

• A选项：$\forall x_1 \in [a,b], \forall x_2 \in [a,b], f(x_1) > g(x_2)$ 表示 $f(x)$ 的最小值大于 $g(x)$ 的最大值，即 $f(x)_{\min} > M_2$，这是 $M_1 > M_2$ 的充分不必要条件；
• B选项：$\forall x_1 \in [a,b], \exists x_2 \in [a,b], f(x_1) > g(x_2)$ 表示 $f(x)$ 的最小值大于 $g(x)$ 的最小值，即 $f(x)_{\min} > g(x)_{\min}$，与 $M_1 > M_2$ 无必然逻辑关系；
• C选项：$\exists x_1 \in [a,b], \forall x_2 \in [a,b], f(x_1) > g(x_2)$ 等价于 $f(x_1) > \max g(x_2) = M_2$，即 $f(x)$ 的最大值 $M_1 > M_2$，为充要条件；
• D选项：$\forall x \in [a,b], f(x) > g(x)$ 是 $M_1 > M_2$ 的充分不必要条件（例如取 $f(x)=x, g(x)=0.5, x \in [0,1]$，有 $M_1=1, M_2=0.5$，但当 $x=0$ 时 $f(0)<g(0)$）。

综上，正确选项为 C。