函数$f(x)=\dfrac{x}{ax+b}(a,b$为常数$)$满足：点$(2,1)$在$f(x)$的图象上，方程$f(x)=x$有唯一解． (1)求$f(x)$的解析式； (2)判断$f(x)$在$(-2,+∞)$上的单调性，并证明．

1. 利用点在函数图象上建立关于 $a, b$ 的第一个方程

因为点 $(2,1)$ 在函数 $f(x)$ 的图象上，
代入可得：$f(2) = \dfrac{2}{2a+b} = 1$，
变形得：$2a+b = 2$ ①．

2. 利用方程有唯一解建立第二个方程，并求出 $a, b$ 的值及解析式

由方程 $f(x)=x$ 得 $\dfrac{x}{ax+b}=x$，
即 $x = x(ax+b)$，整理得 $ax^2 + (b-1)x = 0$．
因为该方程有唯一解，且显然 $x=0$ 是其一个解，
由于 $a \neq 0$（若 $a=0$，则 $b=2$，这使得 $f(x)=\dfrac{x}{2}$ 无渐近线，与第(2)问中研究 $(-2, +\infty)$ 的单调性矛盾，故舍去），
所以该一元二次方程有两个相等的实数根，即唯一解为 $x=0$．
因此一次项系数必须为 0，即 $b-1=0$，解得 $b=1$．
将 $b=1$ 代入①得 $2a+1=2 \implies a=\dfrac{1}{2}$．
此时解析式为 $f(x) = \dfrac{x}{\frac{1}{2}x+1} = \dfrac{2x}{x+2}$．

1. 写出单调性结论

$f(x)$ 在 $(-2, +\infty)$ 上单调递增．

2. 用定义法证明单调性

证明：任取 $x_1, x_2 \in (-2, +\infty)$，且 $x_1 < x_2$，
则 $f(x_2) - f(x_1) = \dfrac{2x_2}{x_2+2} - \dfrac{2x_1}{x_1+2}$
$= \dfrac{2x_2(x_1+2) - 2x_1(x_2+2)}{(x_1+2)(x_2+2)}$
$= \dfrac{2x_1x_2 + 4x_2 - 2x_1x_2 - 4x_1}{(x_1+2)(x_2+2)}$
$= \dfrac{4(x_2-x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}$．
因为 $-2 < x_1 < x_2$，
所以 $x_2 - x_1 > 0$，$x_1 + 2 > 0$，$x_2 + 2 > 0$．
所以 $\dfrac{4(x_2-x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)} > 0$，
即 $f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_2) > f(x_1)$．
所以 $f(x)$ 在 $(-2, +\infty)$ 上单调递增．