函数f(x)=sin|ax+1|的图象恒过定点___,若函数y=f(x)的图象的对称轴为x=1,则非零实数a的值为___.

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完整解法

1. 求函数 $f(x)$ 图象所过的定点坐标

若要使函数 f(x)=sin⁡∣ax+1∣f(x) = \sin|ax+1| 的图象恒过定点,则其函数值应与非零实数 aa 的取值无关。
令 x=0x = 0,代入解析式可得:
f(0)=sin⁡∣a⋅0+1∣=sin⁡1f(0) = \sin|a \cdot 0 + 1| = \sin 1
此时函数值恒为 sin⁡1\sin 1,与 aa 无关。
因此,函数 f(x)f(x) 的图象恒过定点 (0,sin⁡1)(0, \sin 1)。

2. 根据对称轴确定非零实数 $a$ 的值

对于函数 f(x)=sin⁡∣ax+1∣f(x) = \sin|ax+1|(a≠0a \neq 0),其整体的对称性由绝对值内部的线性函数 y=∣ax+1∣y = |ax+1| 决定。
由于 y=∣ax+1∣y = |ax+1| 的顶点(即对称轴位置)满足 ax+1=0ax+1 = 0,解得 x=−1ax = -\frac{1}{a}。
因此,函数 f(x)=sin⁡∣ax+1∣f(x) = \sin|ax+1| 的对称轴为 x=−1ax = -\frac{1}{a}。
已知该函数的对称轴为 x=1x=1,从而有:
−1a=1-\frac{1}{a} = 1
解得:
a=−1a = -1
验证:当 a=−1a=-1 时,f(x)=sin⁡∣1−x∣f(x) = \sin|1-x|,满足 f(1+x)=sin⁡∣−x∣=sin⁡∣x∣f(1+x) = \sin|-x| = \sin|x| 且 f(1−x)=sin⁡∣x∣f(1-x) = \sin|x|,故 x=1x=1 确实为其对称轴,符合题意。

答案

(0,sin⁡1)(0, \sin 1);−1-1

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