1. 求函数 $f(x)$ 图象所过的定点坐标
若要使函数 f(x)=sin∣ax+1∣ 的图象恒过定点,则其函数值应与非零实数 a 的取值无关。
令 x=0,代入解析式可得:
f(0)=sin∣a⋅0+1∣=sin1
此时函数值恒为 sin1,与 a 无关。
因此,函数 f(x) 的图象恒过定点 (0,sin1)。
2. 根据对称轴确定非零实数 $a$ 的值
对于函数 f(x)=sin∣ax+1∣(a=0),其整体的对称性由绝对值内部的线性函数 y=∣ax+1∣ 决定。
由于 y=∣ax+1∣ 的顶点(即对称轴位置)满足 ax+1=0,解得 x=−a1。
因此,函数 f(x)=sin∣ax+1∣ 的对称轴为 x=−a1。
已知该函数的对称轴为 x=1,从而有:
−a1=1
解得:
a=−1
验证:当 a=−1 时,f(x)=sin∣1−x∣,满足 f(1+x)=sin∣−x∣=sin∣x∣ 且 f(1−x)=sin∣x∣,故 x=1 确实为其对称轴,符合题意。
答案(0,sin1);−1