定义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如：$[2.3]=2$，$[1]=1.$以下结论：①$[-1.21]=-2$；②$[a-1]=[a]-1$；③当$-1 < x < 1$时，$[1+x]+[1-x]$的值是$1$；④$2a < [2a]+1$；⑤$x=-1.75$是方程$4x-2[x]+3=0$的唯一解，其中正确的有$(\:\:\:\:)$

A. $1$个

B. $2$个

C. $3$个

D. $4$个

1. 验证结论①是否正确

根据定义，$[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。
对于 $x = -1.21$，不大于 $-1.21$ 的最大整数为 $-2$，即 $[-1.21] = -2$。
因此，结论①正确。

2. 验证结论②是否正确

设任意实数 $a = [a] + \{a\}$，其中 $[a]$ 为其整数部分，$\{a\} \in [0, 1)$ 为其小数部分。
则 $a - 1 = ([a] - 1) + \{a\}$。
因为 $[a] - 1$ 是整数，且 $\{a\} \in [0, 1)$，所以根据定义有 $[a - 1] = [a] - 1$。
因此，结论②正确。

3. 验证结论③是否正确

当 $-1 < x < 1$ 时，若 $x = 0$，则有：
$[1+x] + [1-x] = [1] + [1] = 1 + 1 = 2 \ne 1$。
所以当 $x = 0$ 时，该式的值不为 $1$。
因此，结论③错误。

4. 验证结论④是否正确

根据定义，对任意实数 $y$，均有 $[y] \le y < [y] + 1$ 恒成立。
令 $y = 2a$，则有 $2a < [2a] + 1$ 恒成立。
因此，结论④正确。

5. 验证结论⑤是否正确

求解方程 $4x - 2[x] + 3 = 0$。
设 $x = n + r$，其中 $n = [x]$ 是整数，$r \in [0, 1)$ 是小数部分。
代入方程得：$4(n + r) - 2n + 3 = 0 \implies 2n + 4r + 3 = 0 \implies r = \frac{-2n - 3}{4}$。
由于 $r \in [0, 1)$，得：
$0 \le \frac{-2n - 3}{4} < 1 \implies 0 \le -2n - 3 < 4 \implies 3 \le -2n < 7 \implies -3.5 < n \le -1.5$。
因为 $n$ 是整数，所以 $n = -2$ 或 $n = -3$。

• 当 $n = -2$ 时，$r = \frac{1}{4} = 0.25$，解得 $x = -1.75$；
• 当 $n = -3$ 时，$r = \frac{3}{4} = 0.75$，解得 $x = -2.25$。
  经检验，$x = -1.75$ 和 $x = -2.25$ 均为原方程的解，因此 $x = -1.75$ 不是唯一解。
  所以，结论⑤错误。

6. 总结并确定正确结论的个数及选项

综上所述，正确的结论有①、②、④，共 $3$ 个。
因此，正确答案为 C。