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解方程

使用图形计算器或绘图软件精确或近似求解方程。

这个知识点的练习题

  1. 1[底面半径为 rr、高为 hh 的圆锥体积由 V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h 给出。] 某制造商用同一种材料制作了一个漏斗状的装饰品，它由两部分组成，如图 1所示。 * 一个半径为 rr cm、高为 hh…
  2. 2已知一个数列的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该数列是一个等差数列。 第 (a) 部分中数列的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比数列的前三个连续项，该等比数列的第 nn 项记为 vnv_n。求 mm…
  3. 3一家钻探公司计划在山中铺设一条直管道 ABAB。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于山脚下坐标为 (0,0,0)(0, 0, 0) 的主控制中心定义的，其中单位为米。xx 轴指向东，yy 轴指向北，zz 轴垂直向上。点 AA 的坐标为 (−200,150,10)(-200, 150, 10)…
  4. 4[剑桥/9709/2010] 图中显示了曲线 y=9−x3y = 9 - x^3 和 y=8x3y = \frac{8}{x^3} 的部分图像以及它们的交点 PP 和 QQ。PP 和 QQ 的 xx 坐标分别为 aa 和 bb。 证…
  5. 5已知一个级数的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该级数的各项构成等差数列。 (a) 部分中该级数的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比级数的前三个连续项，且其第 nn 项由 vnv_n 给出。求 mm 的值…
  6. 6曲线 C1C_1 的方程为 p2x2−y2=p2p^2x^2 - y^2 = p^2，其中 p>1p > 1。 画出 C1C_1 的草图，用 pp 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 C1C_1 经过单一变换得到 C2C_2。…
  7. 7在同一幅图中，画出 y=∣2x+3∣y = |2x + 3| 和 y=−2x2−8x−3y = -2x^2 - 8x - 3 的图像。 （你不需要标出任何轴交点和驻点。） 精确求解不等式 ∣2x+3∣>−2x2−8x−3|2x + 3| > -2x^2 - 8x - 3。
  8. 8一个等差数列的前 100 项之和为 10,000。该数列的第一项、第二项和第五项构成一个等比数列的三个连续项。求该等差数列的首项和非零公差。
  9. 9解方程 iz5=−32i z^5 = -32，将根写成 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘特图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  10. 10已知 z=2−iz = 2 - \text{i} 是方程 4z4−12z3+17z2+pz+q=04z^4 - 12z^3 + 17z^2 + pz + q = 0 的一个根，其中 pp 和 qq 是实数，求 pp 和 qq 的值。 利用所求得的 pp 和 qq 的值，…
  11. 11求 ∫3ex5−0.3ex dx\displaystyle \int \frac{3e^x}{5 - 0.3e^x} \, dx ∫cos⁡(ln⁡x) dx\displaystyle \int \cos(\ln x) \, dx，其中 x>0x > 0 ∫03∣2ex−5∣ dx\displaystyle \int_0^3 |2e^x - 5| \, dx…
  12. 12NJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 一个容器是通过从一个半顶角为 α\alpha 的大圆锥中切去一个半径为 5 m 的小圆锥而制成的，其中 tan⁡α=0.5\tan\alpha = 0.5。水以 kh m3 per minutek\sqrt{h}\ \mathrm{m^{3}\ per\ minute}…
  13. 13求不等式 2x+1x2−1≤1\frac{2x+1}{x^2-1} \le 1 的精确解。 曲线 GG 的方程为 ay2+bx3+cx=2ay^2 + bx^3 + cx = 2，其中 aa、bb 和 cc 是常数。已知 GG 经过点 (1,3)(1, \sqrt{3})…
  14. 14数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots 的前 nn 项和为 SnS_{n}，其中 Sn=∑r=1nurS_{n} = \sum_{r=1}^{n} u_{r}。已知 Sn=18−2n+13n−2S_{n} = 18 - \dfrac{2^{n+1}}{3^{n-2}}…
  15. 15下图显示了一个体积固定为 4k34k\sqrt{3} 单位3^{3} 的梯形柱体的尺寸，其中变量为 xx 和 yy。 该柱体的顶面 ABCDABCD 是一个等腰梯形，其中 ABAB 的长度为 5x5x 单位，DCDC 的长度为 3x3x 单…
  16. 16曲线 CC 的方程为 y=x−2kx2+x−2y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}，其中 k>1k > 1。 求 CC 与 yy 轴相交的点 AA 处的切线方程。 画出 CC 的草图，并用含 kk 的式子给出渐近线方程、极值点…
  17. 17[半径为 rr、高为 hh 的直圆锥的体积为 13πr2h\frac{1}{3}\pi r^2 h。] 一名学生为他自制的3D打印机制作了一个打印机喷嘴。该打印机喷嘴由一个厚度可忽略的空心倒置直圆锥（其半径为 rr mm，其中 0<r<20 < r < 2…
  18. 18解方程 z4=−4−43 iz^{4} = -4 - 4\sqrt{3}\,i，将答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。（不需要具体列出所有的根。） 由此解方程 w4=−1+3 iw^{4} = -1 + \sqrt{3}\,i…
  19. 19在同一坐标系中，画出 y=5−1x−1y=5-\dfrac{1}{x-1} 和 y=1(x−5)2y=\dfrac{1}{(x-5)^2} 的图像草图。 解不等式 5−1x−1<1(x−5)25-\dfrac{1}{x-1}<\dfrac{1}{(x-5)^2}。
  20. 20图 1 显示了一个无盖的圆柱形水箱。图 2 显示了该水箱的横截面图。水箱的外半径为 rr cm，外高度为 hh cm，且整个水箱的材料厚度均为 aa cm。水箱的内部容积固定为 1000π1000\pi cm3\text{cm}^3。 证明制…
  21. 21一名参加“项目日”（Project Day）的华中（Hwa Chong）学生需要设计一张矩形海报来展示他的项目。根据海报设计的规则，海报应包含 1352 cm\textsuperscript{2} 的印刷区域，上下边距各为 4 cm，左右边…
  22. 22[剑桥/H2 数学 2007] 复数 ww 满足 ww∗+2w=3+4iww^* + 2w = 3 + 4i，其中 w∗w^* 是 ww 的共轭复数。求 ww，并表示为 a+iba + ib 的形式，其中 aa 和 bb 为实数。
  23. 23求方程 ∣4x−5x−2∣=3x\left|\dfrac{4x-5}{x-2}\right| = 3x 的精确根。 在同一坐标系中，画出方程为 y=∣4x−5x−2∣y = \left|\frac{4x-5}{x-2}\right| 和 y=3xy = 3x 的曲线草图。并由此求不…
  24. 24对于事件 AA 和 BB，已知 P(A)=0.55\mathrm{P}(A) = 0.55，P(B)=0.65\mathrm{P}(B) = 0.65 且 P(A∪B)=0.93\mathrm{P}(A \cup B) = 0.93。 求 P(A∩B)\mathrm{P}(A \cap B)…
  25. 25一个袋子中装有一个绿色圆盘、rr 个红色圆盘和 2r2r 个蓝色圆盘，其中 r>1r>1。 提姆（Tim）和西姆（Sim）轮流从袋子中随机抽取一个圆盘来进行游戏。每次抽取后，将抽出的圆盘放回袋中。第一个抽到绿色圆盘的人获胜。如果西姆先开始游…
  26. 26随机变量 XX 的概率分布如下表所示。 | xx | 1 | 4 | 6 | 8 | |---|---|---|---|---| | P(X=x)\mathrm{P}(X = x) | aa | bb | cc | dd | 已知 E(X)=4\mathrm{E}(X) = 4…
  27. 27函数 gg 定义为 g:x↦ln⁡(x−3)g : x \mapsto \ln(x - \sqrt{3})，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，x>3x > \sqrt{3}。 解释你如何得知 g−1g^{-1} 存在。 求 g−1(x)g^{-1}(x) 并写…
  28. 28图中显示了一个中心在原点的椭圆，其半短轴为 aa，半长轴为 2a2a，其中 a>0a > 0。矩形 PQRSPQRS 内接于该椭圆，其四个顶点 PP、QQ、RR 和 SS 均在椭圆上。PP 点的坐标为 (x,y)(x, y)，其中 xx…
  29. 29曲线 CC 的参数方程为 x=2cos⁡3θx = 2\cos^3 \theta，y=2sin⁡3θy = 2\sin^3 \theta，其中 −π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}。 证明在参数为 θ\theta 的点…
  30. 30图 1 展示了一张卡片 ABCDABCD，它是一个边长为 aa cm 的菱形。该卡片由两个完全相同的等边三角形 ABDABD 和 CBDCBD 组成。从每个角剪掉筝形，得到图 2 所示的形状。将图 2 中剩余的卡片沿虚线折叠，形成一个高为 xx…
  31. 31在一个由 20 支球队组成的特定足球联赛中，每支球队在一个赛季中总共进行 38 场比赛。胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分。 露西最喜欢的球队本赛季共获得 54 分，她特别高兴，因为本赛季获胜或平局的比赛场数之和比负场数两…
  32. 32在同一坐标系中画出 y=3exy = 3e^x and y=x+3y = x + 3 的函数图像。清晰地标出这两个图像交点的坐标。 解不等式 3ex>x+33e^x > x + 3。 因此求出 ∫−22∣3ex−x−3∣ dx\int_{-2}^{2} |3e^x - x - 3| \, \mathrm{d}x…
  33. 33解不等式 ∣y−5∣<1|y-5|<1。 由此解不等式 ∣3x−5∣<1|3^{x}-5|<1，答案保留 3 位有效数字。
  34. 34曲线 C 的方程为 y2x2=3a−xa+x,x≠0,\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{3a-x}{a+x},\quad x \ne 0, 其中 aa 是正常数。 使用代数方法确定 xx 的取值范围，结果用 aa 表示。 在本题的其余部分中，取…
  35. 35函数 f 的定义域为全体实数集，由下式给出： f(x)={4−x2for 0<x≤2,2x−4for 2<x≤4,\text{f}(x) = \begin{cases} 4 - x^2 & \text{for } 0 < x \le 2, \\ 2x - 4 & \text{for } 2 < x \le 4, \end{cases}…
  36. 36第一部分：纯粹数学 [60 分] 曲线 CC 的方程为 y=x2−2x+4x−by = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - b}，x≠bx \ne b。 已知 yy 不能取 −2-2 和 66 之间的值，利用代数方法证明 b=2b = 2。 描述…
  37. 37复数 zz 满足方程 f(z)=0\mathrm{f}(z) = 0，其中 f(z)=(1−ai)z2−2iz−10−20i\mathrm{f}(z) = (1 - a\mathrm{i})z^2 - 2\mathrm{i}z - 10 - 20\mathrm{i} 且 aa 是一个…
  38. 38道格先生的工厂生产在当地超市销售的袋装面粉，包装分为两种规格——普通装和大装。自动机器进行称重和包装。最近一次严重的停电导致他所有的机器在重新启动时都需要重新校准。 普通装袋装面粉的平均质量应该是 1 kg。道格先生怀疑他的机器现在包装的普…
  39. 39回答本题时请勿使用计算器。 已知 x=1+3ix = 1 + 3\mathrm{i} 是方程 x3+ax2+18x+b=0x^3 + ax^2 + 18x + b = 0 的一个根，求实数 aa 和 bb 的值以及其余的根。 复数 zz 和 ww 满足…
  40. 40凯莉（Kelly）有一盒标有从 A 到 Z 26 个字母的球形珠子，所有珠子的大小都相同。对于每个字母，恰好有 3 颗不同颜色的珠子：红色、蓝色和金色。凯莉计划通过将这些标有字母的珠子按特定顺序串起来制作一个钥匙扣。图 1 展示了一个带有…
  41. 41在一个大城镇中，首次发现某种病毒 tt 天后感染该病毒的人数为 xx。假设感染率与 xx 成正比。起初有 5 人感染该病毒，而在首次发现病毒 30 天后，有 5120 人感染该病毒。 在发现病毒 30 天后，人们发现了该病毒的治疗方法…
  42. 42已知双曲线的方程为 a(x−2)2−b(y+1)2=ca(x-2)^2 - b(y+1)^2 = c，其中 aa、bb 和 cc 是正整数。双曲线经过点 (7,10)(7,10)。直线 y=x−1y = x - 1 与该双曲线相交于 x=1x = 1 处。求一组可能满足条件的 aa…
  43. 43一位德明政府中学校友计划捐资在正信园中央建造两个锦鲤池。这两个水池的形状分别为“D”和“H”，如下图所示（所有尺寸单位均为米，图示未按比例绘制）。 阴影区域表示水池表面。“D”形池由一个 3h3h 乘 hh 的矩形和由两个半径分别为 2r2r…
  44. 44一个球在一跳直线上滚动，它与起点的距离 s cms\text{ cm} 可以用以下方程建模： s=at+bt+4+c,s = at + \frac{b}{\sqrt{t} + 4} + c, 其中 tt 是以秒为单位的时间，aa、bb 和 cc 是实常…
  45. 45平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:  r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1:\;\mathbf{r}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\7\\2\end{pmatrix} = \alpha + 20,\; \alpha \in \mathbb{R},…
  46. 46一家新奇玩意儿商店的老板Happie正在为他的商店组织一场宣传活动。利用他购得的一批超稀有Lubaba玩偶，他设计了一个游戏，玩家通过打开“神秘盒子”来尝试寻找隐藏在众多完全相同的游戏盒子之中的一个Lubaba玩偶。 游戏规则如下： - 玩…
  47. 47等差数列的首项为 aa，公差为 0.50.5，其中 aa 是一个整数。求 aa 的最小值，使得前 36 项的和至少为 500。 数列 u0,u1,u2,…u_0, u_1, u_2, \dots 的定义为： u0=400u_0 = 400 且当 n≥1n \ge 1…
  48. 48绘制函数 y=7−2x3x2+x−14y = \frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} 的图像。给出渐近线的方程、极值点的坐标以及曲线与坐标轴的交点坐标。 求 kk 的取值范围，使得 7−2x3x2+x−14=k\frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} = k…
  49. 49求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 ∣z+3∣=2 ℜ(z)|z+3|=2\,\Re(z)。在阿甘特图上画出该轨迹。 写出复数 ww 的模和辐角，其中 w=−2+(23) iw=-2+(2\sqrt{3})\,i。已知 wnw^{n} 是实数，求正整…
  50. 50如图所示，一个铅球从点 OO 以速度 v ms−1v\text{ ms}^{-1} 抛出，抛射角与水平方向成 θ\theta。点 OO 位于地面上点 AA 的上方 1.5m1.5\text{m} 处。以包含该抛体运动轨迹的平面为 xx-yy…
  51. 51下图显示了两个可导函数 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像。在 x=cx = c 处，两个函数之间的距离达到最大值。证明 f′(c)=g′(c)f'(c)=g'(c)，其中 f′(x)f'(x) 和 g′(x)g'(x) 分别是 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)…
  52. 52曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 y=2x2+9x2−4y = \frac{2x^2 + 9}{x^2 - 4} 和 y225−x29=1\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{9} = 1。 在同一坐标系中画出 C1C_1 和 C2C_2 的…
  53. 53曲线 CC 的参数方程为 x=3t2,y=6t3,where t is a real parameter.x = 3t^2, \quad y = 6t^3, \quad \text{where } t \text{ is a real parameter.} 画出 CC 的草图。 求曲线 CC 上切线平行…
  54. 54已知 C=∫0πe−2xcos⁡x  dxC = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \cos x \; \mathrm{d}x 且 S=∫0πe−2xsin⁡x  dxS = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \sin x \; \mathrm{d}x…
  55. 55已知 x2y−tan⁡−1y=34πx^2 y - \tan^{-1} y = \frac{3}{4}\pi。用 xx 和 yy 表示 dydx\frac{\text{d}y}{\text{d}x}。 由此求出当 y=1y = 1 时 dydx\frac{\text{d}y}{\text{d}x}…
  56. 56不使用计算器，解不等式 3x2+9x−8x−1<2.\frac{3x^2 + 9x - 8}{x - 1} < 2. 由此解下列不等式 3e2x+9ex−8ex−1<2,\frac{3e^{2x} + 9e^x - 8}{e^x - 1} < 2, 由此解下列不等式 3+9x−8x2x−x2<2.\frac{3 + 9x - 8x^2}{x - x^2} < 2.…
  57. 57Anand 编写了一个计算机程序，用于在受控环境中模拟生物种群。假设在模拟期间没有生物死亡或离开该环境。 在模拟 A 中，第 1 天向环境中引入 200 个生物。在随后的每一天开始时，向环境中再引入 48 个生物。求在某天结束时，环境中的生…
  58. 58XX 是一个均值为 1、方差为 1 的正态随机变量，并且 YY 也是一个均值为 μ\mu、方差为 2 的正态随机变量。 已知 P(0≤X+Y<3)>0.44P(0 \le X + Y < 3) > 0.44，求 μ\mu 的所有可能值的范围。 若改为已知 μ=10\mu = 10…
  59. 59函数 f 定义为 f(x)=ln⁡(5−x),  x<5f(x)=\ln(5-x),\; x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。 写出使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)| 成立的…
  60. 60在上个月的第一天，一家制造厂内一台机器的温度被发现为 90∘C90^\circ\text{C}，主管认为该温度过高。每天，机器产生的废热作为副产品会导致机器温度上升 2∘C2^\circ\text{C}。为了降低温度，主管决定调整恒温器，并在每天…