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常见被积函数

以下标准被积函数的积分：f′(x)f(x)\dfrac{\mathrm{f}'(x)}{\mathrm{f}(x)}（包括 n=−1n=-1 产生 ln⁡\ln 的情况）、f′(x)ef(x)\mathrm{f}'(x)e^{\mathrm{f}(x)}、sin⁡2x\sin^2 x、cos⁡2x\cos^2 x、tan⁡2x\tan^2 x 以及 1a2+x2\dfrac{1}{a^2+x^2}、1a2−x2\dfrac{1}{a^2-x^2}、1a2−x2\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} 和 1x2−a2\dfrac{1}{x^2-a^2}。

这个知识点的练习题

  1. 1求 ex2+2x\mathrm{e}^{x^2+2x} 对 xx 的导数，并由此求出 ∫01(x+1)ex2+2x  dx\int_{0}^{1} (x+1)\mathrm{e}^{x^2+2x} \; \mathrm{d}x 的精确值。 通过换元 x=sin⁡tx = \sin t（其…
  2. 25 (a) 求解下列积分。 ∫1−2x3+2x−x2 dx.\displaystyle\int \frac{1-2x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\,\mathrm{d}x. ∫xln⁡(2−x2) dx\displaystyle\int x\ln\left(2-x^2\right)\,\mathrm{d}x…
  3. 3[剑桥/9709/2010] 图中显示了曲线 y=9−x3y = 9 - x^3 和 y=8x3y = \frac{8}{x^3} 的部分图像以及它们的交点 PP 和 QQ。PP 和 QQ 的 xx 坐标分别为 aa 和 bb。 证…
  4. 4证明 cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta。 由此，或用其他方法，求 ∫0π/6sin⁡2θ cos⁡3θ dθ\displaystyle \int_{0}^{\pi/6} \sin 2\theta\,\cos 3\theta\, d\theta…
  5. 5求 ∫3ex5−0.3ex dx\displaystyle \int \frac{3e^x}{5 - 0.3e^x} \, dx ∫cos⁡(ln⁡x) dx\displaystyle \int \cos(\ln x) \, dx，其中 x>0x > 0 ∫03∣2ex−5∣ dx\displaystyle \int_0^3 |2e^x - 5| \, dx…
  6. 6已知 1a+bx\dfrac{1}{a+bx} 展开式的前三项为 12+14x+cx2\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}x+cx^2，求 aa、bb 和 cc 的值。 利用第 (i) 小题的答案，求由曲线 y=1a+bxy = \dfrac{1}{a+bx}…
  7. 7证明对于任何复数 z=eiθz = e^{i\theta}， zn+1zn=2cos⁡nθ.z^{n} + \dfrac{1}{z^{n}} = 2\cos n\theta . 通过令 n=1n = 1，证明 cos⁡3θ=18(z3+3z+3z+1z3).\cos^{3}\theta = \tfrac{1}{8}\left(z^{3} + 3z + \tfrac{3}{z} + \tfrac{1}{z^{3}}\right).…
  8. 8将方程为 y=f(x)y=f(x) 的曲线先关于 y 轴进行反射，接着沿 x 轴负方向平移 1 个单位，最后在平行于 y 轴的方向上进行拉伸（缩放因子为 2）。所得曲线的方程由 y=g(x)y=g(x) 给出，其中 g(x)=14−x2  ,−2<x<0g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\;,\quad -2<x<0…
  9. 9证明对于 x>1x>1， ddx(1x2−1)=−x(x2−1)3/2 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)=-\dfrac{x}{(x^2-1)^{3/2}}\,. ddx(sin⁡−11x)=−1xx2−1 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin^{-1}\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,.…
  10. 10曲线 CC 由参数方程定义 x=t−sin⁡tx = t - \sin t，y=sin⁡2ty = \sin^{2} t，  0≤t≤π\;0 \le t \le \pi。 曲线 CC 上的点 AA 对应的参数为 π2\dfrac{\pi}{2}，且是一个极大值点。直线…
  11. 11在同一坐标系中画出 y=3exy = 3e^x and y=x+3y = x + 3 的函数图像。清晰地标出这两个图像交点的坐标。 解不等式 3ex>x+33e^x > x + 3。 因此求出 ∫−22∣3ex−x−3∣ dx\int_{-2}^{2} |3e^x - x - 3| \, \mathrm{d}x…
  12. 12已知 f(x)=14+9x2f(x)=\dfrac{1}{4+9x^2}。 求 ∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx。 求 f(x)f(x) 的二项展开式，展开到包含 x4x^4 的项。以最简精确分数形式给出各项系数。 由此，求 tan⁡−13x2\tan^{-1}\dfrac{3x}{2}…
  13. 13曲线上的点 (x,y)(x,y) 满足方程 x=12t2−2tx = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t 和 dydx=12t−1\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2t - 1} 其中 tt 为参数，t>2t > 2。 已知当 t=4t = 4…
  14. 14设 f(x) 是一个三次多项式，满足 f(2) = 6 且 f(-1) = 15。同时，f(x) 在 x = -2 和 x = 1 处取得驻值。求 f(x)。
  15. 15在一个大城镇中，首次发现某种病毒 tt 天后感染该病毒的人数为 xx。假设感染率与 xx 成正比。起初有 5 人感染该病毒，而在首次发现病毒 30 天后，有 5120 人感染该病毒。 在发现病毒 30 天后，人们发现了该病毒的治疗方法…
  16. 16考虑二阶微分方程 d2xdt2+adxdt=b,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + a\frac{dx}{dt} = b, where aa and bb are non-zero constants and dxdt≠ba\frac{dx}{dt} \ne \dfrac{b}{a}…
  17. 17写出常数 AA 和 BB 的值，使得对所有 xx 值，都有 x−1=A(2x−4)+B.x - 1 = A(2x - 4) + B. 通过将 x2−4x+5x^2 - 4x + 5 化为配方形式，求出 ∫x−1x2−4x+5 dx.\int \frac{x - 1}{x^2 - 4x + 5}\,dx.…
  18. 18已知 C=∫0πe−2xcos⁡x  dxC = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \cos x \; \mathrm{d}x 且 S=∫0πe−2xsin⁡x  dxS = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \sin x \; \mathrm{d}x…
  19. 19函数 f 定义为 f(x)=ln⁡(5−x),  x<5f(x)=\ln(5-x),\; x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。 写出使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)| 成立的…
  20. 20通过换元法 u=x+1u = \sqrt{x+1}，求 ∫x+1x−1 dx\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\,dx。 区域 RR 由曲线 y=x+1x−1y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} 以及直线…
  21. 21点 PP 沿方程为 y=xsin⁡−1xy = x \sin^{-1} x（−1<x<1-1 < x < 1）的曲线 CC 移动。设曲线 CC 在点 PP 处的斜率为 mm。 如果在 x=12x = \frac{1}{2} 时，点 PP 的 xx 坐标以…
  22. 22画出方程为 x2400+(y−10)2900=1.\frac{x^2}{400} + \frac{(y-10)^2}{900} = 1. 的曲线草图。 [无需在曲线上标出 xx 轴截距。] 由该曲线、 xx 轴、 yy 轴以及直线 y=30y = 30 所围成的位于第…
  23. 23求解不等式 1−2sin⁡x>01-2\sin x>0，其中 0≤x≤π20\le x\le \frac{\pi}{2}。由此求出 ∫0π2∣1−2sin⁡x∣ dx\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big|1-2\sin x\big|\,dx 的…
  24. 24[Cambridge/9233/2004] 使用换元 t=(x+1)t = \sqrt{(x + 1)} 求 ∫03x(x+1) dx\int_{0}^{3} x \sqrt{(x + 1)} \, dx 的精确值。
  25. 25求 ∫x2e−2x dx\displaystyle\int x^{2}e^{-2x}\,\mathrm{d}x。 方程为 y=xe−xy = xe^{-x} 的曲线与方程为 y=1exy=\tfrac{1}{e}x 的直线相交于原点 OO 和 xx 坐标为 1 的点…
  26. 26一位农民拥有一块土地 OABOAB，其相邻两边为 OAOA 和 OBOB。以 OO 为原点，OAOA 和 OBOB 分别平行于 xx 轴和 yy 轴。弧 ABAB 由参数方程表示： x=cos⁡θ,y=θ−12sin⁡2θ,0≤θ≤π2.x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  27. 27曲线 CC 的方程为 y=2ax+bxy = 2ax + \frac{b}{x}，其中 aa 和 bb 为非零实常数且 x≠0x \ne 0。 利用求导，确定当 ab<0ab < 0 时曲线 CC 是否存在任何驻点。 现在已知 b=12ab = \frac{1}{2}a…
  28. 28在一个大城镇中，在首次发现某种病毒 tt 天后，感染该病毒的人数为 xx。假设感染率与 xx 成正比。起初有 5 人感染该病毒，在首次发现该病毒 30 天后，有 5120 人感染。 证明 x=5(2)t3x = 5(2)^{\frac{t}{3}}…
  29. 29变量 xx 和 yy 满足微分方程 πdydx+y(3−πtan⁡x)=0\pi \dfrac{dy}{dx} + y(3 - \pi \tan x) = 0。 通过代换 y=zsec⁡xy = z\sec x，证明 dzdx=−3zπ\dfrac{dz}{dx} = -\dfrac{3z}{\pi}…
  30. 30在可再生自然资源的采收中，理想的情况是制定政策以允许最大程度地采收自然资源，同时又不使资源消耗到可持续水平以下。针对太平洋某一特定区域野生鲑鱼种群数量变化率，设计了一个简化的采收模型，公式如下： dPdt=P(4−P)−h,\frac{\text{d}P}{\text{d}t} = P(4 - P) - h,…
  31. 31求 ∫sin⁡3xcos⁡x dx\displaystyle \int \sin 3x \cos x\, dx。 求 ∫e2xcos⁡3x dx\displaystyle \int e^{2x} \cos 3x\, dx。
  32. 32函数 f\text{f} 的定义为 f:x→2x−12x,0<x<2.\text{f} : x \to 2x - \frac{1}{2x}, \quad 0 < x < 2. 已知 f−1\text{f}^{-1} 存在。 以类似的格式定义 f−1\text{f}^{-1}…
  33. 33已知 z=e2xdydxz = e^{2x}\frac{dy}{dx}，用 xx、dydx\frac{dy}{dx} 和 d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}} 表示 dzdx\frac{dz}{dx}。 由此证明微分方程 d2ydx2+2dydx=e−1−4x\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx} = e^{-1-4x}…
  34. 34一个曲线族由微分方程 xy dydx=x2+y2xy\,\frac{dy}{dx} = x^{2} + y^{2} 定义。 通过代换 y=uxy = ux（其中 uu 是 xx 的函数），求出该曲线族的表达式，并写成 y2=f(x)y^{2} = f(x) 的形式。…
  35. 35求 ∫xln⁡(x2−4)dx\int x \ln(x^2 - 4) \text{d}x。 利用换元法 x=acos⁡ux = a \cos u 求 ∫0aa2−x2 dx\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \text{ d}x，其中 aa 是一个正常数。给出精确形…
  36. 36在军事演习中，跳伞员从静止的直升机上跳下，他们的运动由贴在身体上的传感器进行追踪。一名跳伞员从直升机上垂直跳下。在时间 t 秒时，跳伞员在直升机下方 x 米处，速度为 v ms^{-1}。他受到一个向下的大小为 9.8 ms^{-2} 的重…
  37. 37求 ∫x2e−2x dx\int x^{2} e^{-2x}\, dx。 方程为 y=xe−xy = x e^{-x} 的曲线与方程为 y=1exy = \tfrac{1}{e} x 的直线相交于原点 OO 和 xx 坐标为 1 的点 PP。区域 RR 由该曲线…
  38. 38通过使用换元 x=cot⁡θx = \cot \theta（其中 0<θ<π40 < \theta < \frac{\pi}{4}），求 ∫1x21+x2 dx\displaystyle \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x。
  39. 39证明 ddx(tan⁡x)=sec⁡2x\dfrac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x 证明 sin⁡2xcot⁡x=2cos⁡2x\sin 2x\cot x = 2\cos^2 x 由此，求 ∫π30π5csc⁡(10x)tan⁡(5x) dx\displaystyle\int_{\tfrac{\pi}{30}}^{\tfrac{\pi}{5}} \csc(10x)\tan(5x)\,dx…
  40. 40[Cambridge/N78/I/20] 求 ddx(tan⁡−1(x2))\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan^{-1}(x^2))，并由此或用其他方法，求 ∫xtan⁡−1(x2) dx\int x \tan^{-1}(x^2) \, dx。
  41. 41通过将 sin⁡3x\sin^3 x 写成 sin⁡2x(sin⁡x)\sin^2 x(\sin x)，求 ∫sin⁡3xcos⁡3x dx\int \sin^3 x \cos^3 x \text{ d}x。 求 ∫5−6x5−3x2+2x dx\int \frac{5 - 6x}{\sqrt{5 - 3x^2 + 2x}} \text{ d}x…
  42. 42求 ∫cot⁡23x  dx\int \cot^2 3x \; \mathrm{d}x。 求 ∫24x2−4x+3x2−4x+8  dx\int_{2}^{4} \frac{x^2-4x+3}{x^2-4x+8} \; \mathrm{d}x 的精确值。 利用代换 x=2cot⁡θx = 2\cot\theta…
  43. 43求 ∫sin⁡pxcos⁡qx dx\int \sin px \cos qx \text{ d}x，其中 pp 和 qq 是常数，满足 p≠qp \ne q 且 p≠−qp \ne -q。 已知 m≠0m \ne 0，求 ∫xsin⁡mx dx\int x \sin mx \text{ d}x…
  44. 44求 π∫16x3 dx\pi \int_{1}^{6} x^3 \text{ d}x 的准确值。 图中给出了曲线 y=x32y = x^{\frac{3}{2}} 的草图，其中 x≥0x \ge 0。曲线下方介于 x=1x = 1 和 x=6x = 6 之间的区域（…
  45. 45求 ∫x+2x2+2x−3 dx\int \frac{x+2}{x^2+2x-3} \,\mathrm{d}x。 求 ∫2xsin⁡x dx\int 2x\sin x \,\mathrm{d}x。 利用换元法 x=3sin⁡θx = 3\sin\theta，求 ∫0329−x2 dx\int_0^{\frac{3}{2}} \sqrt{9-x^2} \,\mathrm{d}x…
  46. 46求 ∫x2x−1 dx.\int \frac{x}{\sqrt{2x-1}}\,dx. 利用换元法 t=tan⁡xt = \tan x，求 ∫14cos⁡2x+9sin⁡2x dx.\int \frac{1}{4\cos^{2}x + 9\sin^{2}x}\,dx. 上图显示了曲线 y=x2+3xy = x^{2} + 3x…
  47. 47求 ∫6+2x1−4x−x2 dx\displaystyle \int \dfrac{6+2x}{\sqrt{1-4x-x^2}}\,\mathrm{d}x。 上图所示为由方程为 y=ln⁡xxy=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x}（x≥1x \ge 1）的曲线 CC…
  48. 48斯托克斯定律指出，当半径为 RR 的球形物体在流体中以速度 vv 下落时，作用在球体上的阻力 FF 由下式给出： F=−6πηRv,F = -6\pi \eta R v , 其中 η\eta 是流体的黏度系数。下表显示了在 25∘C25 ^\circ\text{C}…
  49. 49求 ∫xsin⁡2x dx\displaystyle \int x \sin^{2} x \, dx 。 区域 R 由曲线 y=xsin⁡xy = \sqrt{x \sin x}、直线 x = 0 和 x=πx = \pi 以及 x 轴围成。求区域 R 绕 x 轴旋转一周…
  50. 50求常数 pp 的精确值，使得 ∫5p+919−x dx=∫01411−4x2 dx.\displaystyle \int_{5}^{p+9} \frac{1}{\sqrt{9-x}}\,dx = \displaystyle \int_{0}^{\tfrac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx.…
  51. 51变量 xx 和 yy 由微分方程 d2ydx2=2e−2x.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = 2\mathrm{e}^{-2x} . 相关联。求解该微分方程。由此求出一条可能具有斜渐近线的解曲线，并给出该斜渐近…
  52. 52已知 f(x)=ln⁡(a+x)f(x)=\ln(a+x)，x∈Rx\in\mathbb{R}，x>−ax>-a，其中 aa 是常数。 利用公式表（MF27）中的标准级数，求出 f(x)f(x) 展开到包含 x3x^{3} 项的级数展开式。 已知 a=1a=1。由此或用其…
  53. 53通过代换 x=cosec⁡θx = \operatorname{cosec}\theta，证明 ∫2321x3x2−1dx=∫π6π3sin⁡2(θ)dθ\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2} \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 1}} \mathrm{d}x = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2(\theta) \mathrm{d}\theta…
  54. 54通过代换 u=x−yu = x - y，求解微分方程 dydx+4(x−y)2cos⁡2x=sin⁡2x.\dfrac{dy}{dx} + 4(x - y)^2\cos^2 x = \sin^2 x. 一种用于治疗糖尿病的新药以每天 RR 毫克的恒定速率输给患者。药物从患者体内流失的速率…
  55. 55求由图象 y=2x2+3y = 2x^2 + 3 和 y=−2x+7y = -2x + 7 围成的区域面积。 若两个图象都沿 yy 轴负方向平移 7 个单位，写出由这两个图象围成的区域面积。 区域 RR 由 y=2x2+3y = 2x^2 + 3、y=−2x+7y = -2x + 7…
  56. 56通过两次分部积分证明：∫e2xsin⁡x dx=15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)+c.\int e^{2x}\sin x\,dx=\tfrac{1}{5}e^{2x}(2\sin x-\cos x)+c. 下图显示了阴影区域 RR，该区域由曲线 y=ex−π/2sin⁡xy= e^{x-\pi/2}\sqrt{\sin x}…
  57. 57当 NN 单位的振金（Vibranium）与 MM 单位的氪石（Kryptonite）发生反应时，开始形成化学物质乌鲁（Uru），其中 M<NM < N。设 yy 表示反应发生 tt 小时后生成的乌鲁单位数。 该化学反应的微分方程由下…
  58. 58在同一坐标系中，草绘 y=sin⁡2xy = \sin 2x 和 y=cos⁡xy = \cos x 在 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2} 上的图像，并写出曲线与坐标轴交点的精确坐标。 求不等式 sin⁡2x>cos⁡x\sin 2x > \cos x（其中…
  59. 59已知 2xydydx=x2−y22xy\dfrac{dy}{dx} = x^{2} - y^{2}，其中 x>0x>0，y<0y<0。通过换元 u=yxu = \dfrac{y}{x}，证明该微分方程可以转化为 2u1−3u2dudx=1x.\dfrac{2u}{1-3u^{2}}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x}.…
  60. 60在一个化学反应中，化合物 X 由两种化合物 Y 和 Z 反应生成。 在反应开始后 t 秒时，存在的 X、Y 和 Z 的质量（以克为单位）分别为 xx、15−x15 - x 和 25−x25 - x。在任何时刻，X 的生成速率与此时存在的 Y 和…