有下列命题：①$mx^{2}+2x-1=0$是一元二次方程；②二次函数$y=ax^{2}+2x-1$与$x$轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．真命题有$(\quad)$

A. $1$个

B. $2$个

C. $3$个

D. $4$个

1. 判断命题①的真假

对于①，当 $m=0$ 时，方程为 $2x-1=0$，这是一元一次方程，不是一元二次方程，故①是假命题；

2. 判断命题②的真假

对于②，因为该函数是二次函数，所以 $a\neq 0$。令 $ax^2+2x-1=0$，其判别式为 $\Delta = 2^2 - 4 \cdot a \cdot (-1) = 4 + 4a$。若 $a < -1$（例如 $a=-2$ 时，$\Delta = -4 < 0$），二次函数与 $x$ 轴没有交点，所以不一定“至少有一个交点”，故②是假命题；

3. 判断命题③的真假

对于③，根据集合相等的定义，若两个集合互相包含（即 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$），则这两个集合相等（即 $A=B$），故③是真命题；

4. 判断命题④的真假

对于④，空集是任何非空集合的真子集，但空集不是它本身的真子集，故“空集是任何集合的真子集”说法错误，故④是假命题；

5. 统计真命题个数并选择答案

综上，只有③是真命题，真命题有 $1$ 个。
故选：A。