已知集合$A=\{x|3< x< 6\}$，$B=\{x|2< x< 9\}.(1)$设全集$U=R$，求$∁_{U}(A∩B)$； (2)已知集合$C=\{x|a< x< a+1\}$，若$C⊆B$，求实数$a$的取值范围．

1. 求解集合 $A$ 与 $B$ 的交集 $A \cap B$

已知集合 $A=\{x|3< x< 6\}$，$B=\{x|2< x< 9\}$，
根据交集的定义，取两集合的公共部分，得：
$A \cap B = \{x|3< x< 6\}$

2. 求解 $A \cap B$ 在全集 $U=\mathbb{R}$ 下的补集

因为全集 $U=\mathbb{R}$，
所以 $\complement_{U}(A \cap B) = \{x|x \leqslant 3 \text{ 或 } x \geqslant 6\}$

1. 根据子集关系列出不等式组

因为 $C = \{x|a < x < a+1\}$，且 $C \subseteq B$，其中 $B = \{x|2 < x < 9\}$。
由于 $a < a+1$ 恒成立，集合 $C$ 非空。
要使 $C \subseteq B$，则 $C$ 的端点必须满足：
$\begin{cases} a \geqslant 2 \\ a+1 \leqslant 9 \end{cases}$

2. 求解不等式组以确定 $a$ 的取值范围

解不等式组：
由 $a+1 \leqslant 9$ 得 $a \leqslant 8$。
结合 $a \geqslant 2$，得实数 $a$ 的取值范围是：
$2 \leqslant a \leqslant 8$
用区间表示为 $[2, 8]$。