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集合的概念与表示

通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言、图形语言基础上用符号语言刻画集合；了解全集与空集的含义。

讲解

集合的概念与表示

1从分类到集合：集合的定义与元素特征

从分类说起：自然界与数学中的“聚集”

在生活和数学中，我们经常把具有某种共同属性的对象看作一个整体。

  • 生活中的例子：
    • 太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋 —— 构成“地球上的四大洋”。
    • 所有的中国公民 —— 构成一个庞大的社会群体。
  • 数学中的例子：
    • 小于 1010 的所有自然数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
    • 方程 $x^2 - 1 =

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这个知识点的练习题

  1. 1已知集合A={x|-5＜2x+1＜7}，B={x|-2＜x＜4}，则A∩B=（ ） A. {x|-3＜x＜4} B. {x|-2＜x＜4} C. {x|-3＜x＜3} D. {x|-2＜x＜3}
  2. 2已知集合A={x∣x⩽2}A=\{x|x\leqslant 2\}，a=2a=\sqrt{2}，则aa与集合AA的关系是()(\quad) A. a∈Aa\in A B. a∉Aa\notin A C. a=Aa=A D. {a}∈A\{a\}\in A…
  3. 3下列四个命题是假命题的是()(\quad) A. {0}\{0\}是空集 B. 若a∈Na\in N，则−a∉N-a\notin N C. 集合{x∈R∣x2−2x+1=0}\{x\in R|x^{2}-2x+1=0\}中有22个元素 D. 集合{x∈Q∣6x∈N}\{x\in Q|\dfrac{6}{x}\in N\}…
  4. 4已知集合A={x∣3<x<6}A=\{x|3< x< 6\}，B={x∣2<x<9}.(1)B=\{x|2< x< 9\}.(1)设全集U=RU=R，求∁U(A∩B)∁_{U}(A∩B)； (2)已知集合C={x∣a<x<a+1}C=\{x|a< x< a+1\}，若C⊆BC⊆B，求实数aa…
  5. 5已知集合A={x∈z∣∣x∣⩽2}A=\{x\in z||x|\leqslant 2\}，B={x∣x−2x+2⩽0}B=\left\{ x\left|\dfrac{x-2}{x+2}\leqslant 0\right.\right\}，则()(\quad) A. A∩B=AA∩B=A …
  6. 6设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A-B={x|x∈A，且x∉B}． （1）试举出两个数集，求它们的差集； （2）差集A-B与B-A是否一定相等？说明你的理由．
  7. 7已知集合A={1,a}A=\{1,a\}，B={2,3,4}B=\{2,3,4\}，且A∪B={1,2,3,4}A∪B=\{1,2,3,4\}，则实数aa取值的集合是()(\quad) A. {1,2,3,4}\{1,2,3,4\} B. {2,3,4}\{2,3,4\} C.…
  8. 8已知∣log⁡a34∣<1|\log _{a} \dfrac {3}{4}| < 1，求aa的取值集合．
  9. 9已知集合A={0,1,2}A=\{0,1,2\}，则集合B={x−y∣x∈A,y∈A}B=\{x-y|x∈A,y∈A\}的元素个数为()() A. 44 B. 55 C. 66 D. 99
  10. 10下列式子表示正确的是（ ） A. ϕ⊆{0} B. {2}∈{2，3} C. ϕ∈{1，2} D. 0⊆{0，2，3}
  11. 11小李买了钢笔、毛笔、蜡笔，小张买了圆珠笔、铅笔、钢笔．他们一共买了 种笔．
  12. 12不等式|x|＞2的解集是（ ） A. x＞2 B. {x|x＞2} C. {x|x＞2或x＜-2} D. x＞2或x＜-2
  13. 13已知命题p：1-c＜x＜1+c，命题q：x＞7或x＜-1，且p是q的既不充分也不必要条件，求c的取值范围．
  14. 14设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A，且k+1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ） A. 6个 B. 12个 C.…
  15. 15若集合{x-a∈Z|a-1≤x≤a+1}=（ ） A. {0} B. {-1，0} C. {-1，0，1} D. {-2，-1，0，1，2}
  16. 16已知集合M={x∣2x−1⩾0}.M=\{x|\dfrac{2}{x-1}\geqslant 0\}.集合N={x∣2x+3>0}N=\{x|2x+3>0\}，则(∁RM)∩N=()(∁_{R}M)∩N=(\quad) A. [−32,1)[-\dfrac{3}{2},1) B. (−32,1)(-\dfrac{3}{2},1)…
  17. 17满足A⊆{a，b，c}且A∩{a，b}={a}的集合A的个数有 ．
  18. 18把下列各数填在相应的大括号里 88，−∣−2∣-|-2|，00，−1.04-1.04，−(−10)-(-10)，227 \dfrac {22}{7}，−13- \dfrac {1}{3}，+34+ \dfrac {3}{4}． 正…
  19. 19已知命题p:关于 xx 的不等式 mx−1≥0mx-1≥0 的解集为A，且 2∈A2∈A ；命题q:关于x的方程 x2−2x+m=0x ^ { 2 } -2x+m=0 有两个不相等的正实数根. （1）若命题p为真命题，求实数m的范…
  20. 20设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( ) A. {a|0≤a≤6} B. {a|a≤2，或a≥4} C. {a|a≤0，或a≥6} D. {a|2≤a≤4}
  21. 21设xx，y∈Ry\in R，集合A={1,2x}A=\{1,2^{x}\}，B={x,y}B=\{x,y\}，若A∩B={12}A∩B=\{\dfrac{1}{2}\}，则A∪B=()A∪B=(\quad) A. {1,12}\{1,\dfrac{1}{2}\}…
  22. 22设全集为RR，A={x∣x2−5x−6>0}A=\{x|x^{2}-5x-6>0\}，B={x∣∣x−5∣<a}(aB=\{x||x-5|< a\}(a为常数))，11∈B11\in B，则()(\quad) A. (∁RA)∪B=R(∁_{R}A)∪B=R B. A∪(∁RB)=RA∪(∁_{R}B)=R…
  23. 23已知集合A={x∣x−2>0}A=\left\{\begin{array}{l}x\left|{x-2>0}\right.\end{array}\right\}，B={x∣−2x+8>0}B=\left\{\begin{array}{l}x\left|{-2x+8>0}\right.\end{array}\right\}…
  24. 24已知集合M={x∣y=ln⁡(1−x)}M=\{x|y=\ln(1-x)\}，集合N={(x,y)∣y=ex,x∈R}(eN=\{(x,y)|y=e^{x},x\in R\}(e为自然对数的底数))，则M∩N=()M∩N=(\quad) A. {x∣x<1}\{x|x< 1\} B. {x∣x>1}\{x|x>1\}…
  25. 25已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（ ） A. M⊆N B. N=M C. M∩N={2，3} D. M∪N={1，4}
  26. 26若集合M={x|2-x＜0}，N={x|x-3≤0}，则M∩N为（ ） A. （-∞，-1）∪（2，3] B. （-∞，3] C. （2，3] D. （1，3]
  27. 27已知集合A={0,1,2}A=\{0,1,2\}，则集合B={x−y∣x∈A,y∈A}B=\{x-y|x\in A,y\in A\}中元素的个数是()(\quad) A. 11 B. 33 C. 55 D. 99
  28. 28不等式3x+11−2x⩾0 \dfrac {3x+1}{1-2x}\geqslant 0的解集是 ___ ．
  29. 29定义集合运算：A⊙B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设集合A={-1，0}，B={sinα，cosα}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ） A. 1 B. 0 C. sinα+cosα D. -sinα-cosα
  30. 30用另一种方法表示下列集合． (1){(1)\{绝对值不大于22的整数}\}； (2){(2)\{能被33整除，且小于1010的正数}\}； (3){x∣x=∣x∣,x<5(3)\{x|x=|x|,x < 5，且x∈Z}x∈Z\}； (4){(x,y)∣x+y=6(4)\{(x,y)|x+y=6…
  31. 31如3∈{a,a2−2a}3∈\{a,a^{2}-2a\}，则实数aa 的值等于 ___ ．
  32. 32已知集合P={-2，-1，0，1}，若Q={x|x∈P，且|x|∈P}，则Q= ．
  33. 33设集合A={x∣−1<x<4}A=\{x|-1< x< 4\}，B={x∈Z∣0<x<5}B=\{x\in Z|0< x< 5\}，则A∩B=()A∩B=(\quad) A. {x∣0<x<4}\{x|0< x< 4\} B. {x∣−1<x<5}\{x|-1< x< 5\} C. {2,3}\{2,3\}…
  34. 34设集合M={−1,0,1}M=\{-1,0,1\}，N={x∣x2=−x}N=\{x|x^{2}=-x\}，则M∩N=()M∩N=() A. {0}\{0\} B. {1,0}\{1,0\} C. (−1,0)(-1,0) D. {−1,0}\{-1,0\}
  35. 35已知集合A={x∈Z∣x<4}A=\{x\in Z|x< 4\}，B⊆NB⊆N，则()(\quad) A. 集合B∪N=NB∪N=N B. 集合A∩BA∩B可能是{1,2,3}\{1,2,3\} C. 集合A∩BA∩B可能是{−1,1}\{-1,1\} D…
  36. 36已知集合A={x∣x−1⩾0}A=\{x|x-1\geqslant 0\}，B={0,1,2}B=\{0,1,2\}，则A∩B=()A∩B=() A. {0}\{0\} B. {1}\{1\} C. {1,2}\{1,2\} D. {0,1,2}\{0,1,2\}
  37. 37若全集U={0,1,2,3}U=\{0,1,2,3\}且∁UA={2}∁_{U}A=\{2\}，则集合A=A=___，集合AA的真子集共有___个..
  38. 38已知集合A={1，2，4}，B={1，x}，若B⊆A，则x=（ ） A. 1 B. 2 C. 2或4 D. 1或2或4
  39. 39集合A={0,1}A=\{0,1\}的子集的个数是 ___ 个．
  40. 40对命题p：A∩ϕ=ϕ，命题q：A∪ϕ=A，下列说法正确的是（ ） A. p∧q为假 B. p∨q为假 C. ¬p为真 D. ¬q为假
  41. 41已知集合A={x∣x2+3x−4<0}A=\{x|x^{2}+3x-4 < 0\}，B={x∣x+2x−4<0}.(1)B=\{x| \dfrac {x+2}{x-4} < 0\}.(1)在区间(−4,5)(-4,5)上任取一个实数xx，求“x∈A∩Bx∈A∩B”的概率； (2)设(a,b)(a,b)…
  42. 42集合A={x|0＜x≤2，x∈Z}，用列举法表示为A= ___ ．
  43. 43已知M⊆N，则下列结论不正确的是（ ） A. M一定是N的真子集 B. M可能是空集 C. M可能等于N D. M∪N=N，M∩N=M
  44. 44若集合A={x∣log⁡12x⩾12}A=\{x|\log _{ \frac {1}{2}}x\geqslant \dfrac {1}{2}\}，则∁RA=()∁_{R}A=() A. (−∞,0]∪(22(-∞,0]∪( \dfrac { \sqrt {2}}{2}，+∞)+∞)…
  45. 45已知集合A={x∣2x−6⩽2−2x⩽1}A=\{x|2^{x-6}\leqslant 2^{-2x}\leqslant 1\}，B={x∣x∈A∩N}B=\{x|x∈A∩N\}，C={x∣a⩽x⩽a+1}C=\{x|a\leqslant x\leqslant a+1\}． ((Ⅰ))…
  46. 46若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4
  47. 47定义在[1,+∞)[1,+∞)上的函数f(x)f(x)满足：①f(2x)=2f(x)f(2x)=2f(x)；②当x∈[2,4]x\in[2,4]时，f(x)=1−∣x−3∣f(x)=1-|x-3|，则集合{x∣f(x)=f(36)}\{x|f(x)=f(36)\}中的最小元素是 ___ .
  48. 48下列表述正确的是（ ） A. 0∈∅ B. {0}∈∅ C. {0}⊆∅ D. ∅⊆{0}
  49. 49已知集合A={−1,0,1}A=\{-1,0,1\}，B={1,m}.B=\{1,m\}.若B⊆AB⊆A，则实数mm的值是()(\quad) A. 0                  0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: B. −1                 -1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  50. 50已知全集U=RU=R，集合A={x∣1⩽x⩽5}A=\{x|1\leqslant x\leqslant 5\}，B={x∣a⩽x⩽a+2}B=\{x|a\leqslant x\leqslant a+2\}． (1)若a=4a=4，求A∪BA∪B，B∩∁UAB∩∁_{U}A…
  51. 51设集合A={x|x-3）（x-a）=0，a∈R），B={x|（x-4）（x-1）=0}，若A∩B是一个单元素集，则有a=（ ） A. 3或1 B. 3或4 C. 4或1 D. 1，3或4
  52. 52已知全集U={1,2,3,4,5,6}U=\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6\}，集合A={1,2,3}A=\{1 , 2 , 3\}，B={5,6}B=\{5 , 6\}，则(∁UA)∪B=(    )(∁ _{U} A)∪B= (\:\:\:\:) A. {4}\{4\} B.…
  53. 53已知集合A={a∣A=\{a|关于xx的方程 x+ax2−1=1 \dfrac{x+a}{x^{2}-1}=1有唯一实数解，a∈R}a∈R\}，用列举法表示集合A=A=___．
  54. 54已知全集U={a1,a2,a3,a4}U=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}，集合AA是集合UU的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件： ①若a1∈Aa_{1}\in A，则a2∈Aa_{2}\in A； ②若a2∈Aa_{2}\in A…
  55. 55已知全集U={0,1,2,3}U=\{0,1,2,3\}，A={0,1,2}A=\{0,1,2\}，B={1,2,3}B=\{1,2,3\}，则A∩(∁UB)=()A∩(∁_{U}B)=() A. {0}\{0\} B. {1,2}\{1,2\} C. {0,3}\{0,3\} D. ∅\varnothing …
  56. 56从正有理数集合中去掉正分数集合，得到 集合．
  57. 57已知全集U={1,2,3,4,5,6}U=\{1,2,3,4,5,6\}，A={1,2,3}A=\{1,2,3\}，B={2,3,4}B=\{2,3,4\}，则∁U(A∪B)=()∁_{U}(A∪B)=() A. {2,3}\{2,3\} B. {5,6}\{5,6\} C. {1,4,5,6}\{1,4,5,6\}…