定义在$[1,+∞)$上的函数$f(x)$满足：①$f(2x)=2f(x)$；②当$x\in[2,4]$时，$f(x)=1-|x-3|$，则集合$\{x|f(x)=f(36)\}$中的最小元素是 ___ .

1. 利用函数递推关系计算 $f(36)$ 的值

根据关系式 $f(2x) = 2f(x)$，将 $36$ 逐步缩减至已知区间 $[2,4]$ 内：
$f(36) = 2f(18) = 4f(9) = 8f(4.5) = 16f(2.25)$
因为 $2.25 \in [2,4]$，代入 $f(x) = 1 - |x-3|$，得：
$f(2.25) = 1 - |2.25 - 3| = 1 - 0.75 = 0.25$
所以 $f(36) = 16 imes 0.25 = 4$。

2. 分析不同区间上函数 $f(x)$ 的最大值，缩小解的范围

由 $f(2x) = 2f(x)$ 可知，对任意正整数 $k$，当 $x \in [2^k, 2^{k+1}]$ 时，有 f(x) = 2^{k-1} f\left(rac{x}{2^{k-1}} ight)，其中 rac{x}{2^{k-1}} \in [2,4]。
当 $x \in [2,4]$ 时，$f(x) = 1 - |x-3| \le 1$。
因此在区间 $[2^k, 2^{k+1}]$ 上，函数的最大值为 $2^{k-1}$。

• 当 $x \in [1,2)$ 时，f(x) = rac{1}{2}f(2x) \le rac{1}{2}；
• 当 $x \in [2,4]$ 时，$f(x) \le 1$；
• 当 $x \in [4,8]$ 时，$f(x) \le 2$；
• 当 $x \in [8,16]$ 时，$f(x) \le 4$。
  要使 $f(x) = 4$，自变量 $x$ 必然不能小于 $8$。

3. 在最左侧可能区间 $[8,16]$ 内求解 $f(x) = 4$，得到最小元素

当 $x \in [8,16]$ 时，rac{x}{4} \in [2,4]，则 f(x) = 4f\left(rac{x}{4} ight)。
令 $f(x) = 4$，可得 4f\left(rac{x}{4} ight) = 4 \implies f\left(rac{x}{4} ight) = 1。
在 $[2,4]$ 上，1 - \left|rac{x}{4} - 3 ight| = 1 \implies \left|rac{x}{4} - 3 ight| = 0 \implies rac{x}{4} = 3 \implies x = 12。
因为 $12 \in [8,16]$，且 $x < 8$ 时 $f(x) \le 2 < 4$，所以满足 $f(x) = 4$ 的最小元素为 $12$。