已知全集$U=R$，集合$A=\{x|1\leqslant x\leqslant 5\}$，$B=\{x|a\leqslant x\leqslant a+2\}$． (1)若$a=4$，求$A∪B$，$B∩∁_{U}A$； (2)若$B⊆A$，求实数$a$的取值范围．

1. 确定当 $a=4$ 时集合 $B$ 的具体表示

当 $a=4$ 时，代入集合 $B$ 的定义式可得：
$B=\{x|4\leqslant x\leqslant 6\}$．

2. 求并集 $A\cup B$

已知 $A=\{x|1\leqslant x\leqslant 5\}$，由并集定义得：
$A\cup B=\{x|1\leqslant x\leqslant 5\}\cup\{x|4\leqslant x\leqslant 6\}=\{x|1\leqslant x\leqslant 6\}$．

3. 求补集 $\complement_U A$

因为全集 $U=\mathbb{R}$，$A=\{x|1\leqslant x\leqslant 5\}$，由补集定义得：
$\complement_U A=\{x|x < 1 \text{ 或 } x > 5\}$．

4. 求交集 $B\cap\complement_U A$

结合集合 $B$ 与 $\complement_U A$ 的范围，由交集定义得：
$B\cap\complement_U A=\{x|4\leqslant x\leqslant 6\}\cap\{x|x < 1 \text{ 或 } x > 5\}=\{x|5 < x\leqslant 6\}$．

1. 将子集关系转化为关于 $a$ 的不等式组

因为 $B\subseteq A$，且 $B=\{x|a\leqslant x\leqslant a+2\}$，$A=\{x|1\leqslant x\leqslant 5\}$，显然 $B\neq\varnothing$．
所以集合 $B$ 的区间必须完全落在集合 $A$ 的区间内，即满足：
$\begin{cases} a\geqslant 1 \\ a+2\leqslant 5 \end{cases}$

2. 求解不等式组得到 $a$ 的取值范围

由不等式组可得：
$\begin{cases} a\geqslant 1 \\ a\leqslant 3 \end{cases}$
解得：$1\leqslant a\leqslant 3$．
所以实数 $a$ 的取值范围是 $[1,3]$．