设$x$，$y\in R$，集合$A=\{1,2^{x}\}$，$B=\{x,y\}$，若$A∩B=\{\dfrac{1}{2}\}$，则$A∪B=(\quad)$

A. $\{1,\dfrac{1}{2}\}$

B. $\{-1,\dfrac{1}{2}\}$

C. $\{-1,1,\dfrac{1}{2}\}$

D. $\{1,2,\dfrac{1}{2}\}$

1. 利用交集确定 $x$ 的值

因为 $A = \{1, 2^x\}$ 且 $A \cap B = \{\frac{1}{2}\}$，所以 $\frac{1}{2} \in A$。
由于 $1 \neq \frac{1}{2}$，根据集合中元素的性质，必须有 $2^x = \frac{1}{2}$，解得 $x = -1$。

2. 确定 $y$ 的值并写出集合 $A$ 和 $B$

将 $x = -1$ 代入集合 $B$，得 $B = \{-1, y\}$。
因为 $A \cap B = \{\frac{1}{2}\}$，所以 $\frac{1}{2} \in B$。
由于 $-1 \neq \frac{1}{2}$，必须有 $y = \frac{1}{2}$。
此时 $A = \{1, \frac{1}{2}\}$， $B = \{-1, \frac{1}{2}\}$，均符合集合元素的互异性性质。

3. 计算并集 $A \cup B$

由并集的定义得：
$A \cup B = \{1, \frac{1}{2}\} \cup \{-1, \frac{1}{2}\} = \{-1, 1, \frac{1}{2}\}$。
故正确选项为 C。