已知集合$A=\{x|2^{x-6}\leqslant 2^{-2x}\leqslant 1\}$，$B=\{x|x∈A∩N\}$，$C=\{x|a\leqslant x\leqslant a+1\}$． $($Ⅰ$)$写出集合$B$的所有子集； $($Ⅱ$)$若$A∩C=C$，求实数$a$的取值范围．

1. 求解指数不等式确定集合A

由不等式 $2^{x-6}\leqslant 2^{-2x}\leqslant 1$ 可知其底数为 $2 > 1$。根据指数函数的单调性，对应指数满足关系：
$x-6 \leqslant -2x \leqslant 0$
解此不等式组：

1. 由 $-2x \leqslant 0$ 得 $x \geqslant 0$；
2. 由 $x-6 \leqslant -2x$ 得 $3x \leqslant 6$，解得 $x \leqslant 2$。
   综合得 $0 \leqslant x \leqslant 2$。
   故 $A = \{x|0 \leqslant x \leqslant 2\}$。

2. 求交集确定集合B的元素

因为 $B=\{x|x\in A\cap \mathbb{N}\}$，且 $A=\{x|0\leqslant x\leqslant 2\}$，
其中的自然数有 $0, 1, 2$，
所以 $B=\{0, 1, 2\}$。

3. 列出集合B的所有子集

集合 $B=\{0, 1, 2\}$ 含有 $3$ 个元素，其子集共有 $2^3=8$ 个，
分别为：$\varnothing$、$\{0\}$、$\{1\}$、$\{2\}$、$\{0,1\}$、$\{0,2\}$、$\{1,2\}$、$\{0,1,2\}$。

1. 利用交集性质转化为集合包含关系

若 $A\cap C=C$，根据集合运算性质，则必有 $C\subseteq A$。

2. 列出关于a的不等式组

由 (Ⅰ) 已知 $A=\{x|0\leqslant x\leqslant 2\}$，且 $C=\{x|a\leqslant x\leqslant a+1\}$，
因为 $C$ 显然非空（因为对任意实数 $a$ 都有 $a \leqslant a+1$ 恒成立），
要使 $C\subseteq A$，必须满足区间端点限制：
$\begin{cases} a\geqslant 0 \\ a+1\leqslant 2 \end{cases}$

3. 求解不等式组得出a的范围

解不等式组：
由第二式得 $a\leqslant 1$，
结合第一式可得 $0\leqslant a\leqslant 1$。
即实数 $a$ 的取值范围是 $[0,1]$。