已知集合$A=\{x|x\leqslant 2\}$，$a=\sqrt{2}$，则$a$与集合$A$的关系是$(\quad)$

A. $a\in A$

B. $a\notin A$

C. $a=A$

D. $\{a\}\in A$

1. 比较 $a$ 与集合 $A$ 的限定条件中的数值 2 的大小

因为 $a = \sqrt{2} \approx 1.414$，显然有 $\sqrt{2} < 2$，即 $a \leqslant 2$ 成立。

2. 确定元素与集合的关系并选择对应选项

因为 $a$ 满足集合 $A = \{x \mid x \leqslant 2\}$ 的特征性质，所以 $a$ 是集合 $A$ 的元素，即 $a \in A$。
故正确选项为 A。