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化简与求解

化简含有指数和对数的表达式并解简单的指数与对数方程

这个知识点的练习题

1回答所有问题。已知 $a = \sqrt{\frac{b^2+4ac}{2a}}$ ，当 $a = 4$ 且 $c = -1$ 时，求 $b$ 的值。答： $b =$ ... 化简 $\left(\frac{125p^6}{q^{-3}}\right)^{-\frac{1}{3}} \times \left(\frac{3p^0}{\sqrt{q}}\right)^2$ …
2潘先生买了一辆新车。 $t$ 个月后，其价值 $V$ 由 $V = 250000e^{-pt}$ 给出，其中 $p$ 为常数。该车在 36 个月后的价值为 $180 000。证明 $p$ 大约为 0.00913。求当该车的预期价值为 \…
3图示为曲线 $y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6$ 的一部分，该曲线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。曲线在点 $Q$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $R$ 。求法线的方程，阴影区域的面积。
4某种放射性同位素的衰变可以用指数方程 $N = N_0 e^{-at}$ 来模拟，其中 $t$ 为周数， $N$ 表示放射性同位素的剩余量， $N_0$ 和 $a$ 是常数。该放射性同位素样品的初始质量为 100.9 g。 2 周后，发现…
5已知 $\sqrt{125^x} = \dfrac{5^{1-x}}{25}$ ，求 $\sqrt{125^x}$ 的值。证明 $\log_2 x - \log_{16} x = \dfrac{3\lg x}{4\lg 2}$ 。
6方程 $3^{2x-1}=4(3^x)$ 的解可以表示为 $\dfrac{\ln p}{\ln q}$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值。将方程 $\log_{16}(3y-1)+\tfrac{1}{2}=\log_{4}(3y)$ 的…
7简（Jane）在2025年1月买了一辆电动汽车。购买后，汽车的价值 $V 随时间而减少，且可以通过模型 $V = 38000e^{-kt}$ 进行建模，其中 $k$ 是一个正数常数， $t$ 是以年为单位的时间。预计行驶 3 年后，汽车的价…
8药物通过注射方式输入病人体内。经过时间 $t$ 小时后，病人体内的药物浓度 $x$ mg/ $l$ 满足以下方程： $x = x_o e^{-kt},$ 其中 $x_o$ 和 $k$ 是常数。下表记录了 $x$ 和 $t$ 的一些数值：…
9一名驾驶员以恒定速度 V m/s 行驶，经过一个固定点 X 并看到前方车辆很少。他踩下油门，随后他的速度 v m/s 由 $v = 60e^{t/6}$ 给出，其中 $t$ 是通过 X 后的时间（以秒为单位）。当他通过点 Y 时，他的速度已…
10已知 $u = 2^x$ ，将 $2^{x+1} = 5(2^x) + 3$ 表示为关于 $u$ 的方程。由此求出使得 $2^{x+1} = 5(2^x) + 3$ 成立的 $x$ 的值，结果保留 2 位有效数字。
11已知 $\frac{2^x \times 32(2^x)}{8^{x+1}} = \frac{9(5^{2x}) - 5^{2x+1}}{5^x - 5^{x-1}}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $10^x$ 的值。解方程 $\sqrt{x+7} - x - 1 = 0$ …
12放射性碳测年（或碳-14测年）是一种能够准确测定大约 60,000 年以内的有机材料年龄的科学方法。该技术基于碳-14同位素的衰变。原始原子数量衰变一半所需的时间定义为半衰期。该过程由方程 $N = N_0 e^{-kt}$ 建模，其中 $k$ …
13使用代换 $u = 7^x$ ，解方程 $7^{2x+2}-4(7^{x+1})-5=0$ ，并证明该解可以写成 $\log_a b -1$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是待确定的整数。解方程 $\log_3(2x-1)-\log_9(x^2+2)=\log_{25}5$ …
14已知 $y = \frac{4}{5}\left(\frac{x}{12} - 1\right)^6$ 且 $x$ 和 $y$ 都随时间变化，当 $y$ 的变化率是 $x$ 的变化率的 $12\frac{4}{5}$ 倍时，求 $y$ 的值…
15解方程 $2^{x+1}+2^{-x}=3$ 。已知曲线方程为 $y=2x^2-4ax+b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为非零常数。解释为什么当 $b>2a^2$ 时，有 $y>0$ 。
16已知 $\frac{\sqrt[3]{2^2} \times 3^{\frac{1}{5}}}{6^3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = 2^a \times 3^b$ ，求分数 $a$ 和 $b$ …
17已知曲线 $y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{3}$ ，且该曲线在点 $P\left(\ln 2, \frac{55}{24}\right)$ 处的法线与 $y$ 轴交…
18已知等比数列 $\{a_{n}\}(a_{1}\neq a_{2})$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{7}$ ， $a_{1}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $q=()$ A. $1$ 或 $- 32$ B. $- 32$ …
19已知 $u = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$ ，将 $9^x + 6^x = 6(4^x)$ 表示为关于 $u$ 的一元二次方程。由此或通过其他方法，解方程 $9^x + 6^x = 6\bigl(4^x\bigr)$ …
20解方程 $x + 1 + \sqrt{5 - x} = 0$ 。解方程 $\log_x(2x-1) = \log_{x^2}(4-5x)$ 。
21点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
22解方程 $\log_3 x - 3\log_x 9 = 1$ 。
23解方程 $2^{4p+1} + 20(4^{p-1}) = 3$ 。解释为什么当 $k < -3\frac{1}{8}$ 时，方程 $2^{4p+1} + 20(4^{p-1}) = k$ 无解。
24通过使用适当的换元法，解方程 $e^{\frac{1}{2}x} = 2 + 24 e^{-\frac{1}{2}x}$ 。
25证明方程 $3e^{2x}+7e^{x}=6$ 只有一个解，并求其精确到 2 位有效数字的值。将 $(3x + 1)^3 - 8$ 彻底因式分解。
26已知 $4^{x+1} \times 5^{2x-3} = 10^{3x}$ ，求 $10^x$ 的值。由此，解方程 $4^{x+1} \times 5^{2x-3} = 10^{3x}$ 。
27已知 $y = 3e^{2x} + 2e^{-x}$ ，且 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = Ae^{2x} + Be^{-x}$ ，求常…
28Given that $\frac{49^{2x-3}}{7^{3x}} = \frac{7^{2x+1}}{343^{x-1}}$ , find the value of $\sqrt[3]{343^x}$ .
29解下列方程。 $5^x - 5^{\frac{x}{2}+1} = 6$ ， $2\lg(x - 3) - \lg(x + 7) = \frac{1}{\log_{100} 10}$ 。
30在 $t$ 小时后，细菌数量 $P$ 满足模型 $P = P_0(2^t)$ ，其中 $P_0$ 是一个常数。求细菌数量达到其初始大小的 100 倍所需的最少小时数（精确到最接近的小时）。草绘 $P$ 关于 $t$ 的图象。
31图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
32草拟 $y = 3^x$ 的图像。为了求解方程 $\log_9(5-x) = \frac{x}{2}$ ，需要在与 $y = 3^x$ 图像相同的坐标系中画一条合适的直线。求这条直线的方程。指出方程 $\log_9(5-x) = \frac{x}{2}$ …
33图中显示了曲线 $y = e^{x-1} - 2$ 的一部分。点 $P(2,\ e-2)$ 在该曲线上，且曲线在点 $P$ 处的法线交 $x$ 轴于点 $Q$ 。用 $e$ 表示点 $Q$ 的 $x$ 坐标。求阴影区域的总面积。
34一个金属正方体在被放入液体中之前被加热到 $212^\circ\text{C}$ 的温度。随着正方体冷却，它在进入液体后 $t$ 分钟的温度 $T^\circ\text{C}$ 由 $T = P + 180e^{-kt}$ 给出，其中 $P$ …
35已知 $4(5^{x+3}) = 20^{3-x}$ ，不使用计算器求 $10^x$ 的值。
36证明方程 $2^{3x+4}\times 5^{2x-1}=16^{x}\times 5^{3x}$ 的解为 $\lg\dfrac{16}{5}$ 。将 $2\log_{2}x-\log_{2}(x-4)=3$ 表示为关于 $x$ …
37一锅融化的巧克力从其初始温度冷却到温度 $T^\circ\text{C}$ 需要 $x$ 分钟，并符合形式为 $T = A(B^x)$ 的方程，其中 $A$ 和 $B$ 是常数。巧克力的凝固点是 $17^\circ\text{C}$ 。下表…
38在一项实验中，一个容器内储存了 500 万个细胞。观察发现，每分钟有 40% 的细胞死亡。在 $t$ 分钟后剩余的细胞数量 $N$ 由 $N = A e^{k t}$ 给出，其中 $A$ 和 $k$ 是常数。解释为什么 $k = \ln \frac{3}{5}$ …
39通过考虑 $\left(x^{4}-\frac{1}{k x^{2}}\right)^{6}$ （其中 $k$ 是正常数）的二项式展开式中的通项，解释为什么该展开式中只有 $x$ 的偶数次幂。已知在 $\left(x^{4}-\frac{1}{k x^{2}}\right)^{6}$ …
40求阴影区域的面积。上图未按比例绘制。
41下表给出了两个变量 $x$ 与 $y$ 的实验值。已知 $x$ 与 $y$ 通过形如 $y = h(x+1)^k$ 的方程相关联，其中 $h$ 和 $k$ 为常数。 | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|…
42解下列方程。 $\log_2(x+4) = 2\log_2 x - 1$ $10\log_y 5 + 3 = \log_5 y$
43若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标为 ___ ．
44在一块石头中检测到的放射性物质的质量为 $m$ 克，由公式 $m = ae^{-kt}$ 给出，其中 $a \ne 0$ ， $k$ 是一个常数， $t$ 是以月为单位的时间间隔。该物质在首次被检测到四个月后，其质量减少到原始值的一半，求 $k$ …
45求满足下列方程的 $x$ 和 $y$ 的值： $2^x \div 4^y = \frac{1}{8},$ $9^y (\sqrt{3})^{2x} = 3\sqrt{3}.$ $ABCD$ 是一个面积为 $12 + 11\sqrt{3}\text{ cm}^2$ …
46某国在不同年份 1 月份记录的人口数 $P$ （以百万为单位）如下表所示。 | 年份 | 2005 | 2010 | 2015 | 2020 | |---|---|---|---|---| | $P$ | 12.95 | 14.67 | 17…
47画出 $y = \log_2(3x + 1)$ 的图像草图，并标出 $x = \frac{1}{3}$ 的点。解释为什么 $x > -\frac{1}{3}$ 。解方程 $\log_2(3x + 1) + \frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(3x - 1) = 1$ …
48本题不接受通过精确作图得出的解。 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $AD$ 平行于 $BC$ 且垂直于 $AB$ 。 $E$ 是 $AD$ 上的一个点，且 $BE$ 穿过原点。点 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(3, -2)$ …
49某种细菌的数量 $n$ 随着时间 $t$ （分钟）而增加。记录的 $n$ 和 $t$ 的值如下表所示。 | t | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | n | 3215…
50已知 $\log_a 8 + 3\log_a N = 3$ 且 $N > \frac{1}{4}$ ，求 $a$ 的取值范围。解方程 $\log_3 x - \log_x 3x - 2 = 0$ 。
51已知 $\tan\alpha$ ， $\tan\beta$ 是方程 $\lg(3{{x}^{2}}-x-2)=0$ 的两个实数根，则 $\tan(\alpha+\beta)=(\quad)$ A. $2$ B. $\dfrac{1}{5}$ …
52多项式方程由 $\mathrm{p}(x) = 4x^3 + x - 5$ 给出。求 $\mathrm{p}(x)$ 除以 $(2x - 1)$ 的余数。证明方程 $\mathrm{p}(x) = 0$ 仅有一个实根。由此，解方程 $2^{3y+2} + 2^y - 5 = 0$ …
53为了准备大选，一个政党研究了通过在社交媒体平台 Instantglam 上上传特定视频来传播信息的有效性。已观看该视频的 Instantglam 用户数量的增长率与尚未观看该视频的 Instantglam 用户数量成正比。在视频上传 $t$ …
54已知 $\frac{(\log_y x)^2}{\log_x y} + 64 = 0$ ，用 $x$ 表示 $y$ 。解方程 $\log_2 x + 3 = 2\log_2(x - 1)$ 。
55解方程 $9^{x+1} - 3^{x+2} = 2\left(3^{x+1} - 2\right)$ 。已知 $\log_3(2x-1) = \log_9(2x-1) + 1$ ，求 $x$ 的值。已知 $\log_a xy = m$ 且…
56求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}\ln x\right)$ 。由此求出 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 。图中显示了直线 $x = 2$ 和曲线 $y = x\ln x$ …
57求 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln x}{4x}\right)$ 。由此，确定曲线 $y=\dfrac{\ln x}{4x}$ 是单调递减函数的 $x$ 的取值范围。答案用 $e$ 表示。
58已知 $4(5^{x+3}) = 20^{3-x}$ ，在不使用计算器的情况下求 $10^x$ 的值。
59解方程 $2^{x+1} + 3(2^{-x}) = 7$ 。
60证明方程 $2(e^x - 3) = e^{\frac{1}{2}x}$ 只有一个解，并求出该解的值（保留 3 位有效数字）。