若集合$A=\{x|\log _{ \frac {1}{2}}x\geqslant \dfrac {1}{2}\}$，则$∁_{R}A=()$

A. $(-∞,0]∪( \dfrac { \sqrt {2}}{2}$，$+∞)$

B. $( \dfrac { \sqrt {2}}{2},+∞)$

C. $(-∞,0]∪[ \dfrac { \sqrt {2}}{2},+∞)$

D. $[ \dfrac { \sqrt {2}}{2},+∞)$

1. 确定集合 $A$ 的元素范围，即求解对数不等式

首先，根据对数函数有意义的条件，真数必须大于 $0$，即：
$x > 0$

其次，解对数不等式 $\log_{\frac{1}{2}}x \geqslant \frac{1}{2}$：
由于对数函数的底数 $0 < \frac{1}{2} < 1$，对数函数 $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ 在其定义域 $(0, +\infty)$ 上是单调递减的。
因为 $\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以不等式可化为：
$\log_{\frac{1}{2}}x \geqslant \log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}$

根据单调递减性质，得：
$x \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$

结合真数范围 $x > 0$，可得集合 $A$ 的范围为：
$A = \left\{x \Big| 0 < x \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\right\} = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

2. 求解集合 $A$ 在实数集 $\mathbb{R}$ 中的补集

由第一步可知，集合 $A = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$。
根据补集的定义，在实数集 $\mathbb{R}$ 中不属于集合 $A$ 的所有实数构成的集合即为其补集 $∁_{\mathbb{R}}A$：
$∁_{\mathbb{R}}A = (-\infty, 0] \cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$

对比选项，A选项符合。

故选：A。