已知全集$U=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$，集合$A$是集合$U$的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件： ①若$a_{1}\in A$，则$a_{2}\in A$； ②若$a_{2}\in A$，则$a_{3}\in A$； ③若$a_{3}\in A$，则$a_{4}\notin A.$ 则集合$A=(\quad)$

A. $\{a_{1},a_{2}\}$

B. $\{a_{1},a_{3}\}$

C. $\{a_{2},a_{3}\}$

D. $\{a_{2},a_{4}\}$

1. 分析元素 $a_1$ 是否在集合 $A$ 中

假设 $a_{1}\in A$：
由条件①“若 $a_{1}\in A$，则 $a_{2}\in A$”可得 $a_{2}\in A$；
由条件②“若 $a_{2}\in A$，则 $a_{3}\in A$”可得 $a_{3}\in A$。
此时集合 $A$ 中至少含有三个元素 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$，即 $|A|\geqslant 3$，这与“集合 $A$ 恰有两个元素”矛盾。
故 $a_{1} otin A$。

2. 在剩余可能子集中逐一检验条件，确定集合 $A$

由 $a_{1} otin A$，集合 $A$ 的两个元素只能从 $\{a_{2},a_{3},a_{4}\}$ 中选取，共有三种可能：

1. 若 $A=\{a_{2},a_{4}\}$：因为 $a_{2}\in A$，根据条件②需满足 $a_{3}\in A$，但此集合中 $a_{3} otin A$，不满足条件②；
2. 若 $A=\{a_{3},a_{4}\}$：因为 $a_{3}\in A$，根据条件③需满足 $a_{4} otin A$，但此集合中 $a_{4}\in A$，不满足条件③；
3. 若 $A=\{a_{2},a_{3}\}$：

• 条件①的前题 $a_1 \in A$ 不成立，命题成立；
• $a_{2}\in A$ 且 $a_{3}\in A$，满足条件②；
• $a_{3}\in A$ 且 $a_{4} otin A$，满足条件③。

综上，集合 $A=\{a_{2},a_{3}\}$，选项 C 正确。