下列叙述中不正确的是$(\quad)$

A. 若$a,b,c\in R$，则“不等式$a{{x}^{2}}+bx+c\geqslant 0$恒成立”的充要条件是“${{b}^{2}}-4ac\leqslant 0$”

B. 若$a,b,c\in R$，则“$a{{b}^{2}}>c{{b}^{2}}$”的充要条件是“$a>c$”

C. “$a< 1$”是“方程${{x}^{2}}+x+a=0$有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D. “$a>1$”是“$\dfrac{1}{a}< 1$”的充分不必要条件

1. 分析选项A的真假性

对于选项A：
当 $a,b,c \in \mathbb{R}$ 时，不等式 $ax^2+bx+c \geqslant 0$ 恒成立的充要条件为：$a>0$ 且 $b^2-4ac \leqslant 0$，或者 $a=b=0$ 且 $c \geqslant 0$。
若仅有 $b^2-4ac \leqslant 0$，取 $a=-1, b=0, c=-1$，此时 $b^2-4ac = -4 \leqslant 0$，但不等式 $-x^2-1 \geqslant 0$ 无解，并不恒成立。
因此，“$b^2-4ac \leqslant 0$”不是“$ax^2+bx+c \geqslant 0$ 恒成立”的充分条件，选项A的叙述不正确。

2. 分析选项B、C、D的真假性并确定最终选项

对于选项B：由 $ab^2 > cb^2 \implies b^2(a-c) > 0 \implies b^2 > 0$ 且 $a > c$，推不出 $a>c \implies ab^2 > cb^2$（当 $b=0$ 时不成立），故“$ab^2>cb^2$”是“$a>c$”的充分不必要条件，叙述不正确；
对于选项C：方程 $x^2+x+a=0$ 有一个正根和一个负根的充要条件是两根之积 $x_1 x_2 = a < 0$（此时 $\Delta = 1-4a > 0$ 恒成立）。因为 $a < 0 \implies a < 1$，但 $a < 1 \nRightarrow a < 0$，所以“$a < 1$”是“方程有一正根一负根”的必要不充分条件，叙述正确；
对于选项D：$a > 1 \implies \dfrac{1}{a} < 1$ 成立，但 $\dfrac{1}{a} < 1 \implies a < 0$ 或 $a > 1$，所以“$a > 1$”是“$\dfrac{1}{a} < 1$”的充分不必要条件，叙述正确。
综合比较，选项A存在明显概念错误，不正确的叙述为A。