在直角坐标系$xOy$中，曲线${{C}_{1}}$的方程为$y=k\left| x \right|+2.$以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线${{C}_{2}}$的极坐标方程为${{\rho }^{2}}+2\rho \cos \theta -3=0$． (1)求${{C}_{2}}$的直角坐标方程； (2)若${{C}_{1}}$与${{C}_{2}}$有且仅有三个公共点，求${{C}_{1}}$的方程．

1. 利用极坐标与直角坐标转换公式化简曲线 $C_2$ 的方程

由极坐标与直角坐标的转换公式 $\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}$ 可得 $\rho^2 = x^2 + y^2$．
将 $\rho^2 = x^2 + y^2$ 和 $\rho \cos\theta = x$ 代入曲线 $C_2$ 的极坐标方程 $\rho^2 + 2\rho \cos\theta - 3 = 0$，得：
$x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$

2. 配方得到圆的标准方程（可选）

将直角坐标方程配方，可得：
$(x+1)^2 + y^2 = 4$

1. 分析曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的几何特征及参数 $k$ 的取值范围

由（1）知曲线 $C_2$ 是以 $A(-1, 0)$ 为圆心，半径 $R = 2$ 的圆．
曲线 $C_1: y = k|x| + 2$ 的顶点为 $P(0, 2)$，且关于 $y$ 轴对称．
将 $P(0, 2)$ 代入圆 $C_2$ 方程得 $(0+1)^2 + 2^2 = 5 > 4$，故顶点 $P(0, 2)$ 在圆 $C_2$ 外部．
若 $k \ge 0$，当 $x \ge 0$ 时 $y = kx + 2 \ge 2$，而圆 $C_2$ 在 $x \ge 0$ 区域上的纵坐标最大值为 $\sqrt{3} < 2$，此时 $C_1$ 与 $C_2$ 至多有 $1$ 个公共点，不符合题意．
因此必有 $k < 0$．

2. 根据公共点个数列出关于参数 $k$ 的方程

当 $k < 0$ 时，曲线 $C_1$ 由两组射线组成：
射线 $l_1: kx - y + 2 = 0 \quad (x \ge 0)$
射线 $l_2: -kx - y + 2 = 0 \quad (x \le 0)$
要使 $C_1$ 与 $C_2$ 有且仅有三个公共点，由于 $P(0, 2)$ 不在圆上，必有一条射线与圆相切（1个切点），另一条射线与圆相交（2个交点）．
考虑圆心 $A(-1, 0)$ 到直线 $l_1$ 的距离 $d_1 = \frac{|-k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{2 - k}{\sqrt{k^2 + 1}}$（因 $k < 0$）．
若 $l_1$ 与圆相切，则 $d_1 = R = 2$：
$\frac{2 - k}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2 \implies (2 - k)^2 = 4(k^2 + 1) \implies 3k^2 + 4k = 0$
解得 $k = 0$（舍去）或 $k = -\frac{4}{3}$．

3. 验证 $k = -\frac{4}{3}$ 时两条射线与圆的实际交点个数

当 $k = -\frac{4}{3}$ 时：
① 对射线 $l_1: -\frac{4}{3}x - y + 2 = 0 \quad (x \ge 0)$，联立圆方程得切点坐标为 $\left(\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$，满足 $x = \frac{3}{5} \ge 0$，故 $l_1$ 与圆有 $1$ 个公共点．
② 对射线 $l_2: \frac{4}{3}x - y + 2 = 0 \quad (x \le 0)$，圆心到 $l_2$ 的距离 $d_2 = \frac{|-\frac{4}{3} + 2|}{\sqrt{\frac{16}{9} + 1}} = \frac{2}{5} < 2$．
联立 $\begin{cases} (x+1)^2 + y^2 = 4 \\ y = \frac{4}{3}x + 2 \end{cases}$ 得 $25x^2 + 66x + 9 = 0$．
判别式 $\Delta = 66^2 - 4 \times 25 \times 9 = 3456 > 0$，两根之积 $x_1 x_2 = \frac{9}{25} > 0$，两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{66}{25} < 0$．
故两根均满足 $x < 0$，即 $l_2$ 与圆在 $x \le 0$ 区域有 $2$ 个公共点．
综上，公共点总数为 $1 + 2 = 3$ 个，符合题意．
故 $C_1$ 的方程为 $y = -\frac{4}{3}|x| + 2$．