若$\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$，且$\cos 2\alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\sin \left( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right)$，则$\tan α=$___．

1. 利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简已知等式

已知等式为 $\cos 2\alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\sin \left( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right)$。
利用二倍角公式，左边可化为：
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)$
利用两角和的正弦公式，右边可化为：
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\sin \left( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \left( \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{4} + \cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) = \dfrac{\sqrt{10}}{5}(\cos\alpha + \sin\alpha)$
因此，原等式可化为：
$(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha) = \dfrac{\sqrt{10}}{5}(\cos\alpha + \sin\alpha)$

2. 约去公因式，求出 $\cos\alpha - \sin\alpha$ 的值

因为 $\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$，所以 $\sin\alpha > 0$ 且 $\cos\alpha > 0$，从而 $\cos\alpha + \sin\alpha > 0$。
两边同时除以 $\cos\alpha + \sin\alpha$，得：
$\cos\alpha - \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{5}$

3. 两边平方求出 $2\sin\alpha\cos\alpha$ 的值

对 $\cos\alpha - \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{5}$ 两边平方，得：
$(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right)^2$
$\cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha = \dfrac{2}{5}$
结合同角三角函数关系式 $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$，可得：
$1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{2}{5} \implies 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$

4. 将关于正弦、余弦的式子转化为关于正切的方程

利用 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，可将 $2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ 变形为：
$\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \dfrac{3}{5}$
分子分母同时除以 $\cos^2\alpha$，得：
$\dfrac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \dfrac{3}{5}$
整理得一元二次方程：
$3\tan^2\alpha - 10\tan\alpha + 3 = 0$

5. 求解方程并利用已知范围取舍，得到 $\tan\alpha$ 的最终值

解方程 $3\tan^2\alpha - 10\tan\alpha + 3 = 0$，得：
$(3\tan\alpha - 1)(\tan\alpha - 3) = 0 \implies \tan\alpha = \dfrac{1}{3} \text{ 或 } \tan\alpha = 3$
因为 $\cos\alpha - \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{5} > 0$，所以 $\cos\alpha > \sin\alpha$。
又 $\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$，所以 $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} < 1$。
因此舍去 $\tan\alpha = 3$，得：
$\tan\alpha = \dfrac{1}{3}$