已知关于$x$的不等式$ax^{2}+4ax-3< 0.(1)$若不等式的解集为$\left\{\begin{array}{l}x\left|{x< -3}\right.\end{array}\right.$或$x>-1\}$，求$a$的值； (2)若不等式的解集是$R$，求$a$的取值范围．

1. 讨论二次项系数 $a=0$ 的情况

当 $a=0$ 时，原不等式化为 $-3 < 0$，该不等式的解集为 $\mathbf{R}$，不符合题意，舍去．

2. 分析 $a \neq 0$ 时不等式解集与对应方程根的关系

当 $a \neq 0$ 时，由于不等式 $ax^2+4ax-3 < 0$ 的解集为 $\{x | x < -3 \text{ 或 } x > -1\}$，
所以对应的二次函数图象开口向上或向下？因为解集是两根之外，所以二次项系数 $a < 0$，
且 $-3$ 和 $-1$ 是对应方程 $ax^2+4ax-3=0$ 的两个实数根．

3. 利用根与系数的关系求出 $a$ 的值并检验

根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得：
$(-3) \times (-1) = \dfrac{-3}{a}$，
解得 $a = -1$．
且此时两根之和为 $-3 + (-1) = -4 = -\dfrac{4a}{a}$ 恒成立，且 $a = -1 < 0$ 满足条件．
综上所述，$a$ 的值为 $-1$．

1. 讨论 $a=0$ 时不等式恒成立的情况

当 $a=0$ 时，不等式化为 $-3 < 0$，在 $\mathbf{R}$ 上恒成立，符合题意，此时 $a=0$ 满足条件．

2. 分析 $a \neq 0$ 时不等式恒成立的充要条件

当 $a \neq 0$ 时，不等式 $ax^2+4ax-3 < 0$ 的解集为 $\mathbf{R}$，即在实数集内恒成立，
必须满足二次函数图象开口向下且与 $x$ 轴无交点，即：
$\begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$

3. 计算判别式并求解 $a$ 的范围

计算判别式：
$\Delta = (4a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-3) = 16a^2 + 12a$．
由 $\Delta < 0$ 得 $16a^2 + 12a < 0 \implies 4a(4a+3) < 0$．
又因为 $a < 0$，解得 $-\dfrac{3}{4} < a < 0$．

4. 综合两种情况得出 $a$ 的取值范围

综上所述，结合 $a=0$ 与 $-\dfrac{3}{4} < a < 0$，
$a$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{3}{4}, 0\right]$（或写为 $-\dfrac{3}{4} < a \le 0$）．