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恒正与恒负

y=ax2+bx+cy = ax^{2} + bx + c 恒大于零（或恒小于零）的条件

这个知识点的练习题

  1. 1已知一条曲线的方程为 y=2x−33x+4y = \frac{2x - 3}{3x + 4}，其中 x≠−43x \ne -\frac{4}{3}。 曲线在点 PP（其中 x>0x > 0）处的法线平行于直线 y=−2517x+2y = -\frac{25}{17}x + 2。…
  2. 2如果抛物线y=(k−4)x2+ky=(k-4)x^{2}+k的图都在xx轴上方，那么kk的取值范围是 ___.
  3. 3解方程 2x+1+2−x=32^{x+1}+2^{-x}=3。 已知曲线方程为 y=2x2−4ax+by=2x^2-4ax+b，其中 aa 和 bb 为非零常数。解释为什么当 b>2a2b>2a^2 时，有 y>0y>0。
  4. 4曲线的方程为 y=x3+kx2+kx+8y = x^3 + kx^2 + kx + 8。求满足下列条件的 kk 的取值集合： 该曲线为单调递增函数， 该曲线恰好有 1 个驻点。
  5. 5若函数y=x3+x2+mx+1y=x^{3}+x^{2}+mx+1是RR上的单调函数，则实数mm的取值范围是()() A. (13,+∞)( \dfrac{1}{3} ,+∞) B. (−∞,13](-∞, \dfrac{1}{3} ] C. [13,+∞)[ \dfrac{1}{3} ,+∞)…
  6. 6一条曲线的方程为 y=x2+x+2k−4y = x^2 + x + 2k - 4，一条直线的方程为 y−2x=ky - 2x = k，其中 kk 为常数。求使直线和曲线不相交的 kk 的取值集合，并在数轴上表示此集合。 已知方程为 y=ax2+8x+cy = ax^2 + 8x + c…
  7. 7一个球被竖直向上抛出。在抛出 tt 秒后，它距离地面的高度 hh 米由公式 h=7+20t−5t2h = 7 + 20t - 5t^{2} 给出。求该球达到的最大高度以及达到该高度的时间。 求常数 kk 的取值范围，使得曲线 y=x2+6x+ky = x^{2} + 6x + k…
  8. 8设函数f(x)={2x,x⩽0,log2x,x>0,f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x},x\leqslant 0,\\log_{2}x,x>0,\end{array}\right.对任意给定的y∈(2,+∞)y\in(2,+∞)，都存在唯一的x∈Rx\in R…
  9. 9曲线方程为 y=−2x2−kx−6+ky = -2x^2 - kx - 6 + k，其中 kk 为常数。 求使得该曲线完全位于 x 轴下方的 kk 的取值范围。 已知 2x2+bx+c2x^2 + bx + c 恒为正，写出并化简 bb 与 cc 之间的关系。解释为…
  10. 10已知 f(x)=x2−ax+3f(x)=x^2-ax+3，其中 aa 为常数， 求 aa 的取值范围，使得对于所有实数 xx，都有 f(x)>x−1f(x)>x-1。 求 aa 的值，使得直线 y=a+4y=a+4 与曲线 y=f(x)y=f(x) 相切。
  11. 11求 kk 的取值范围，使得 3x2−5x+k3x^2 - 5x + k is always positive（意为：恒为正数）。 由此，解不等式 x2−x−23x2−5x+4<0\frac{x^2 - x - 2}{3x^2 - 5x + 4} < 0。
  12. 12将 −9+6x−2x2-9 + 6x - 2x^2 表示为 a(x+b)2+ca(x+b)^2 + c 的形式，并由此解释为什么对于所有实数 xx，−9+6x−2x2-9 + 6x - 2x^2 均为负数。
  13. 13将 y=4x−4x2−3y = 4x - 4x^2 - 3 表示为 p(x+q)2+rp(x + q)^2 + r 的形式，其中 pp，qq 和 rr 为常数。 由此解释方程 4x−4x2−3=04x - 4x^2 - 3 = 0 是否有实数解。
  14. 14已知 4x2−xh−3=04x^2 - \frac{x}{h} - 3 = 0，其中 h≠0h \ne 0，证明不存在实数 hh 使得该方程具有相等的实根。 求正数常数 kk 的取值范围，使得直线 y=kxy = kx 完全位于曲线 y=−16x2+(2k−1)x−1y = -16x^2 + (2k - 1)x - 1…
  15. 15回答所有问题。 求常数 kk 的取值范围，使得 y=kx−2y = kx - 2 与曲线 y2=4x−x2y^2 = 4x - x^2 相交。 已知 2x2+bx+c2x^2 + bx + c 恒为正值，写出并化简 bb 与 cc 之间的关系。解释为什么 cc 绝…
  16. 16一条二次曲线的对称轴为 x=−2x = -2，且对于所有的 xx，该曲线都位于 xx 轴上方。已知点 (−1,4)(-1, 4) 在该曲线上，求该曲线的一个可能方程，写成 y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 aa、hh 和…
  17. 17已知关于xx的不等式ax2+4ax−3<0.(1)ax^{2}+4ax-3< 0.(1)若不等式的解集为{x∣x<−3\left\{\begin{array}{l}x\left|{x< -3}\right.\end{array}\right.或x>−1}x>-1\}…
  18. 18已知曲线 y=ax2+2bx−1y = ax^2 + 2bx - 1 完全位于 x 轴下方，求常数 aa 和 bb 必须满足的条件。 如果 aa 和 bb 均为整数，写出一组满足在 (i) 中求得的条件的 aa 和 bb 的值。
  19. 19求 kk 的取值范围，使得 x2+12x+9x^2 + 12x + 9 恒大于 4x+k4x + k。
  20. 20求满足 x2+2x+2x2−5x+6≥0.\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 - 5x + 6} \ge 0. 的 xx 的取值范围。 证明对于所有实数 kk，直线 y=x+ky = x + k 与曲线 xy=y+2xy = y + 2 总是相交于两个不同的点。
  21. 21一条曲线的方程为 y=x2+px−4p+9y = x^2 + px - 4p + 9，其中 pp 为常数。 求 pp 的值范围，使得对于所有实数 xx，x2+px−4p+9x^2 + px - 4p + 9 恒为正。 在 p=4p = 4 的情况下，证明直线 y=6x−8y = 6x - 8…
  22. 22将 y=2x2−4x+7y = 2x^2 - 4x + 7 表示为 a(x−b)2+ca(x - b)^2 + c 的形式，其中 aa，bb 和 cc 是常数。 并由此说明为什么该曲线完全位于 xx 轴上方。
  23. 23求常数 pp 的取值范围，使得对于所有实数 xx，y=px2−4x+p−3y = px^2 - 4x + p - 3 始终为正。
  24. 24求 mm 的取值范围，使得对于所有实数 xx，x2−2mx+2mx^2 - 2mx + 2m 都大于 −3-3。
  25. 25求 kk 的取值范围，使得对于所有实数 xx，恒有 kx2+8x+k<6kx^2 + 8x + k < 6。 已知曲线 y=8x2+mx+m−6y = 8x^2 + mx + m - 6，其中 mm 是常数，求 使 x 轴为该曲线切线的 mm 的可能值。 使该曲线具有…
  26. 26求 kk 的取值范围，使得直线 2x−y=52x - y = 5 与曲线 xy=kx−2xy = kx - 2 相交于两个不同的点。 求最小整数 hh 的值，使得对所有 xx 的值，图像 y=2x2−4x+hy = 2x^2 - 4x + h 完全位于直线 y=3y = 3…
  27. 27求常数 mm 的取值范围，使得曲线 y=(m−3)x2+mx+my = (m - 3)x^2 + mx + m 完全位于 xx 轴上方。
  28. 28求 kk 的取值范围，使得曲线 y=2x2+(3k+1)x+4y = 2x^2 + (3k + 1)x + 4 完全位于直线 y=2x−3k2+5y = 2x - 3k^2 + 5 的上方。
  29. 29曲线方程为 y=(m+1)x2−8x+3my = (m+1)x^2 - 8x + 3m，其中 mm 是常数。 当 m=1m = 1 时，证明直线 y=1−4xy = 1 - 4x 是该曲线的切线。求切点的坐标。 求使得该曲线位于直线 y=5y = 5 上方的 mm 的取值范…
  30. 30通过配方法说明对于所有实数 xx，x2−2x+3x^2 - 2x + 3 始终为正。 由此，若不等式 3x2+px+3x2−2x+3>0\frac{3x^2 + px + 3}{x^2 - 2x + 3} > 0 对所有实数 xx 均成立，求 pp 的取值范围。
  31. 31求常数 kk 的取值范围，使得 k(x2+x)+2(x2+x+1)=0k\left(x^2 + x\right) + 2\left(x^2 + x + 1\right) = 0 无实数根。 由此说明为什么 −(x2+x)+2(x2+x+1)-\left(x^2 + x\right) + 2\left(x^2 + x + 1\right)…