一条曲线的方程为 $y = x^2 + px - 4p + 9$，其中 $p$ 为常数。

1. 确定二次表达式恒正的条件，计算判别式 $\Delta$

对于二次表达式 $x^2 + px - 4p + 9$，$x^2$ 的系数为 $1 > 0$。
要使该表达式对所有实数 $x$ 恒为正，其判别式必须小于零：
$\Delta = b^2 - 4ac < 0$
代入系数：
$\Delta = p^2 - 4(1)(-4p + 9) = p^2 + 16p - 36$

2. 解二次不等式求出 $p$ 的取值范围

令 $\Delta < 0$，得：
$p^2 + 16p - 36 < 0$
因式分解得：
$(p + 18)(p - 2) < 0$
解得 $p$ 的取值范围为：
$-18 < p < 2$

1. 将 $p = 4$ 代入曲线方程，并与直线方程联立得到二次方程

当 $p = 4$ 时，曲线方程为：
$y = x^2 + 4x - 4(4) + 9 = x^2 + 4x - 7$
联立曲线与直线 $y = 6x - 8$：
$x^2 + 4x - 7 = 6x - 8$
整理得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$

2. 计算判别式并得出相切结论

计算该二次方程的判别式 $\Delta$：
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$
（或者：$(x - 1)^2 = 0$，方程有重根 $x = 1$）
因为判别式 $\Delta = 0$，说明直线与曲线有且仅有一个交点，所以直线 $y = 6x - 8$ 是曲线的切线。