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一次与二次联立方程组

用代入法解二元二次联立方程组（其中一个为线性方程）

这个知识点的练习题

1回答所有问题。已知 $a = \sqrt{\frac{b^2+4ac}{2a}}$ ，当 $a = 4$ 且 $c = -1$ 时，求 $b$ 的值。答： $b =$ ... 化简 $\left(\frac{125p^6}{q^{-3}}\right)^{-\frac{1}{3}} \times \left(\frac{3p^0}{\sqrt{q}}\right)^2$ …
2曲线方程为 $y = ax^2 - 3x + 4 - a$ ，其中 $a$ 是常数。当 $a = -2$ 时，求使该曲线完全位于直线 $y = -3$ 下方的 $x$ 的取值集合。当 $a = 3$ 时，证明直线 $y = 3x - 2$ …
3表达式 $f(x) = ax^3 + (a - 3b)x^2 + 3bx + c$ 能被 $x^2 + 3x$ 整除。当 $f(x)$ 除以 $x + 2$ 时，余数为 10。求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。由此将 $f(x)$ 完全…
4已知 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^n$ 是一个二项式展开式，其中 $k$ 和 $n$ 是正常数。用 $k$ 表示出展开式 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^5$ 的前…
5一圆心为 O 的圆穿过点 P(-1,7) 和 Q(0,8)。阐述 PQ 的垂直平分线与点 O 之间的关系。已知直线 $y=2x-2$ 穿过该圆的圆心，求 O 的坐标。由此求该圆的方程。
6求曲线 $x + 3 = 2xy$ 与曲线 $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$ 的交点坐标。
7药物通过注射方式输入病人体内。经过时间 $t$ 小时后，病人体内的药物浓度 $x$ mg/ $l$ 满足以下方程： $x = x_o e^{-kt},$ 其中 $x_o$ 和 $k$ 是常数。下表记录了 $x$ 和 $t$ 的一些数值：…
8已知 $f(x)=x^3+ax^2+bx+5$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）含有因式 $x-1$ ，且除以 $x-2$ 的余数为 $-1$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用这些 $a$ 和 $b$ 的值，将 $f(x)$ 完全因式…
9求满足 $2x(x-3) \ge 3-5x$ 的 $x$ 的取值范围。求最大整数 $k$ 的值，使得直线 $2y+k=x$ 与曲线 $y=2x+\frac{6}{x}$ 不相交。
10一个高为 $h$ 、底面半径为 $r$ 的圆锥恰好内接于一个半径为 $5\text{ cm}$ 的球体中，如下图所示。 $\left(\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ 用 $h$ 表示…
11已知 $f(x) = 2x^3 + px^2 + 7x + q$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值，使得 $(x-3)$ 和 $(x-2)$ 是 $f(x)$ 的因式。由此解方程 $f(x) = 0$ 。
12解联立方程组 $\begin{aligned} y &= x^2 - 6, \\ y &= 2x - 3. \end{aligned}$ 证明 $\frac{3 \cos \theta + \cos 2\theta - 1}{\cos^2 \theta + 2 \cos \theta} = 2 - \sec \theta$ …
13如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
14在 $(1 + bx)(1 + ax)^6$ 的展开式中，前两个非零项为 $1$ 和 $-\frac{21}{4}x^2$ 。已知 $a < b$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。
15本题不接受通过精确作图得出的解法。在梯形 $OABC$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(-2, 6)$ 。边 $OC$ 和 $AB$ 平行，且 $BC$ 垂直于 $OC$ 。证明点 $B$ 的坐…
16点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
17通过精确作图来解答本题将不予采纳。该图（未按比例绘制）显示了一个四边形 $ABCD$ ，其顶点为 $A(-4, -6)$ 、 $B(-7, h)$ 和 $C(2, 6)$ ，而 $D$ 位于 $x$ 轴上。 $AD$ 平行于 $BC$ 。点…
18本题不接受通过精确作图得出的解答。图中显示了一个等腰三角形 PQR，其中 $PQ = QR$ 。三角形的顶点为 P(k, 4)、Q(5, 3) 和 R(9, 10)。求 k 的值。过点 Q 作直线交 y 轴于点 S，使得 $PS = SR$ …
19图示中， $OPQR$ 是一个梯形，其中 $OP$ 平行于 $RQ$ ，且 $OP$ 垂直于 $PQ$ 。点 $P$ 的坐标为 $(-2, 6)$ ，且 $R$ 落在 $x$ 轴上。求 $OP$ 的垂直平分线的方程。已知点 $R$ 落在 $OP$ …
20点 $P$ 和 $Q$ 均在同一个圆上，它们的坐标分别为 $(-10, 15)$ 和 $(10, 0)$ 。该圆的圆心在直线 $4y = 3x + 37$ 上。点 $R$ 使得 $PR$ 是该圆的一条直径。求 $PQ$ 的垂直平分线方程。…
21直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ （其中 $a$ 和 $b$ 为正常数）与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B。连接 A 和 B 的线段的垂直平分线通过点 $P(-3,-7)$ 。证明 $a^2 + 6a = b^2 + 14b$ …
22一个质点通过一个固定点 $O$ 并沿直线运动，在离开 $O$ 点 $t$ 秒后，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = \frac{3}{t+2} - \frac{t+2}{3}$ 给出。该质点在 $P$ 点达到距离 $O$ 的…
23直线 $y=9$ 、 $y=-1$ 和 $3y=4x+9$ 是一个圆的切线。圆心的 x 坐标为正数。解释为什么圆心的 y 坐标是 4。通过考虑判别式或其他方法，证明圆心的 x 坐标是 7。判断点 $(3,0)$ 是否在圆内。
24已知 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + bx + 1$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $f(x)$ 能被 $x + 1$ 整除，且被 $2x - 1$ 除时余数为 3，求 $a$ 和 $b$ 的值。由此，解释为什么方…
25勒罗伊（Leroy）写下了四个数。这些数的平均值是 $2x + y$ ，中位数是 $x + y$ ，众数是 $x - y$ ，其中 $x$ 和 $y$ 是常数且 $x > y$ 。用 $x$ 和 $y$ 表示这四个数。答案 ... , ...…
26一条曲线的方程为 $y = x^2 + x + 2k - 4$ ，一条直线的方程为 $y - 2x = k$ ，其中 $k$ 为常数。求使直线和曲线不相交的 $k$ 的取值集合，并在数轴上表示此集合。已知方程为 $y = ax^2 + 8x + c$ …
27直线 $y + 2x = 12$ 与曲线 $y = 2x^2 - 6x - 4$ 相交于两个不同的点 $A$ 和 $B$ 。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。由此，求 $AB$ 的垂直平分线方程。
28因式分解 $64 - (x + 1)^3$ 。由此，解方程 $64 - (x + 1)^3 = 15(3 - x)$ ，非整数根用根式形式表示。
29曲线 $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$ 与直线 $y - 3x = 5$ 相交于两点。求这两个交点的坐标。
30因式分解 $x^3 - 125$ 。表达式 $-2x^3 + 7x^2 + ax + b$ （其中 $a$ 和 $b$ 为整数）含有因式 $x - 5$ ，且被 $2x + 1$ 除时的余数为 $-11$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。由此或…
31已知曲线的方程为 $y = ax^2 + 4x + 3a - 7$ ，其中 $a$ 为常数。直线 $y = 2ax - 5$ 在点 $Q$ 处与该曲线相切。求 $a$ 的所有可能值。已知直线 $y = 2ax - 5$ 的斜率为正，求…
32直线 $x + 2y = 3$ 与曲线 $x^2 + 12x + 5y^2 = 18$ 相交于两点。求这两点的坐标。
33曲线的方程为 $x^2 + 4y^2 = 20$ ，直线的方程为 $y = k - x$ ，其中 $k$ 是常数。求 $k$ 的取值范围，使得直线与曲线不相交。证明 $AC + BC + DE = (60 \sin \theta + 25 \cos \theta)\text{ cm}$ …
34曲线方程为 $y = 2x^2 + 5$ 。求满足 $y > 3x^2$ 的 $x$ 的值集，并在数轴上表示此集合。直线 $y - kx = 3$ 是曲线在点 $P$ 处的切线。求 $k$ 的可能值。已知 $k > 0$ ，求 $P$ …
35直线 $y = x - 4$ 与曲线 $y = \frac{2}{x - 3}$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ 。求 $A B$ 的长度。
36在 $(1 + bx)(1 + ax)^6$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中，前两个非零项分别为 $1$ 和 $-\frac{21}{4}x^2$ 。求常数 $a$ 和 $b$ 的值，其中 $a < b$ 。
37如图（未按比例绘制）所示，直角三角形 PQR 中，点 P 为 (5, 4)，点 R 为 (9, 2)。点 S 为 (-1.5, 11)，且 PR 平行于 SQ。求 PQ 的方程。求 Q 的坐标。已知 T 是 QR 延长线上的一点，使…
38曲线 $y = \frac{5}{x} + 3$ 与直线 $x - 2y - 3 = 0$ 相交于点 $P$ 和 $Q$ 。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。
39已知 $f(x)=x^2-ax+3$ ，其中 $a$ 为常数，求 $a$ 的取值范围，使得对于所有实数 $x$ ，都有 $f(x)>x-1$ 。求 $a$ 的值，使得直线 $y=a+4$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切。
40求满足下列方程的 $x$ 和 $y$ 的值： $2^x \div 4^y = \frac{1}{8},$ $9^y (\sqrt{3})^{2x} = 3\sqrt{3}.$ $ABCD$ 是一个面积为 $12 + 11\sqrt{3}\text{ cm}^2$ …
41当 $f(x)$ 除以 $x - 1$ 时，余数为 $61$ 。当 $f(x)$ 除以 $x + 3$ 时，余数为 $-123$ 。求 $f(x)$ 除以 $x^2 + 2x - 3$ 时的余式。
42本题不接受通过精确作图得出的解。 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $AD$ 平行于 $BC$ 且垂直于 $AB$ 。 $E$ 是 $AD$ 上的一个点，且 $BE$ 穿过原点。点 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(3, -2)$ …
43在下图中，直线 $OP$ 与 $x$ 轴正方向成 $\alpha^\circ$ 的角，使得 $\tan \alpha = 0.2$ ，且 $Q$ 位于 $x$ 轴上。已知 $OP = \frac{\sqrt{26}}{2}$ 单位长度，证明…
44点 $A(5, 7)$ 和 $B(-11, 15)$ 在圆 $C$ 上。圆心 $O$ 在直线 $y = -2x - 3$ 上。求 $AB$ 的垂直平分线方程。求该圆的方程。点 $D$ 在该圆上，使得角 $ABD$ 为 $90^\circ$ …
45图中显示了 $y = 2x - 1$ 和 $y = kx^2$ 的图像，其中 $k$ 是一个正常数。这两个图像相交于两个不同的点 $A$ 和 $B$ 。证明 $k < 1$ 。描述当 $k = 1$ 时，图像 $y = 2x - 1$ 与…
46写出 $\left(px - \dfrac{q}{x}\right)^n$ 的二项式展开式中的通项，其中 $p$ 和 $q$ 是正整数。如果 $\left(px - \dfrac{q}{x}\right)^n$ 的二项式展开式中的第五项与…
47已知双曲线 $x^{2}- \dfrac {y^{2}}{3}=1$ 上存在两点 $M$ ， $N$ 关于直线 $y=x+m$ 对称，且 $MN$ 的中点在抛物线 $y^{2}=18x$ 上，则实数 $m$ 的值为 ___ ．
48A 和 B 是直线 $4y = 2x + 1$ 与曲线 $3y - x = 4xy$ 的交点。求 A 和 B 的坐标。亨利（Henry）说直线 $2y - 4x = 5$ 垂直于直线 $AB$ 。他是对的吗？请写出计算过程来解释你的答案。
49多项式 $f(x)$ 满足 $f(x)=6x^3+ax^2-50x+b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。已知 $f(x)$ 可被 $2x-3$ 整除，且 $f'(1)=6$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用你求得的 $a$ 和 $b$ …
50图中显示了曲线 $y = \frac{15}{(0.5x+1)}$ 的一部分和一条直线 $y = 1.25x - 10$ 。该直线与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，与 $x$ 轴相交于点 $Q$ ，与曲线相交于点 $R$ 。求 $P$ 和 $Q$ …
51回答所有问题。函数 $f$ 对所有 $x$ 的值定义为 $f(x) = (2x - x^2)e^x$ 。求 $x$ 的取值范围，使得 $f(x)$ 为递减函数。曲线的斜率函数为 $2(p + 1)x + 2$ ，其中 $p$ 为常…
52图中（未按比例绘制）显示了一个四边形 $ABCD$ ，满足 $AB = BC$ 且角 $BCD = 90^\circ$ 。点 $A$ 为 $(-4, 6)$ ，点 $C$ 为 $(6, 6)$ 。已知三角形 $ABC$ 的面积为 15 平方单位，且…
53解方程 $9^{x+1} - 3^{x+2} = 2\left(3^{x+1} - 2\right)$ 。已知 $\log_3(2x-1) = \log_9(2x-1) + 1$ ，求 $x$ 的值。已知 $\log_a xy = m$ 且…
54在 $(2x-1)^2\left(1+\dfrac{p}{x}\right)^8$ 的展开式中（其中 $p$ 是正常数），不含 $\dfrac{1}{x^3}$ 项。求常数 $p$ 的可能值。
55直线 $2x + y = 1$ 与曲线 $x^2 - xy - y^2 + 5 = 0$ 相交于点 $A$ 和 $B$ 。证明长度 $AB$ 为 $5\sqrt{5}$ 单位。
56图中显示了曲线 $y = \frac{5}{2x - 1}$ 的一部分。直线 $9y = -10x + 55$ 与该曲线相交于点 $A$ 和 $B$ ，并与 $x$ 轴相交于点 $C$ 。 $CD$ 是与 $y$ 轴平行的直线。求点 $A$ 、 $B$ …
57证明对于所有实数 $a$ 和 $b$ ，方程 $ax^2 + (3a + b)x + 3b = 0$ 的根都是实数。求 $m$ 的取值范围，使得直线 $y = mx - 3$ 与曲线 $y^2 = 4x - 6y - 34$ 永不相交。
58努鲁尔（Nurul）以恒定速度从城镇 $A$ 旅行到城镇 $B$ 用了 2.5 小时。在返程中，她将恒定速度提高了 4 km/h，用时减少了 15 分钟。证明她从城镇 $A$ 到城镇 $B$ 的行驶速度为 36 km/h。答假设…
59某种病毒正在一个国家传播。 $t$ 天后，感染病例数 $I$ 可以用模型 $I = \frac{a}{b + 2^{20-t}}$ 来表示，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。16 天后，感染病例数为 3600。4 天后，感染病例数增加到 90…
60圆在点 $(-3,3)$ 处的切线通过原点。求圆在点 $(-3,3)$ 处的法线方程。圆的另一条法线通过点 $(0,-1)$ 且平行于直线 $5y=-2x+7$ 。求该圆的方程。求圆上距离 y 轴最远的点的坐标。将你的答案写成 $(m + n\sqrt{2}, k)$ …