已知 $f(x)=x^3+ax^2+bx+5$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）含有因式 $x-1$ ，且除以 $x-2$ 的余数为 $-1$ 。

(a)
求 $a$ 和 $b$ 的值。
(b)
利用这些 $a$ 和 $b$ 的值，将 $f(x)$ 完全因式分解为三个一次因式（必要时使用根式）。

余式定理与因式定理一次与二次联立方程组根式运算与分母有理化 English

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完整解法

3(b)

1. Substitute the values of $a$ and $b$ from part (a) into $f(x)$

From part (a), $a = -1$ and $b = -5$ .
$f(x) = x^3 - x^2 - 5x + 5$

2. Factorise out the known linear factor $(x-1)$

Since $(x-1)$ is a factor, we can factorise by grouping or long division:
$x^3 - x^2 - 5x + 5 = x^2(x-1) - 5(x-1)$
$= (x-1)(x^2 - 5)$

3. Factorise the quadratic factor completely using surds

Using the difference of two squares $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ :
$x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$
Therefore, $f(x) = (x-1)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$

答案

$(x-1)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$

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已知 f(x)=x3+ax2+bx+5f(x)=x^3+ax^2+bx+5f(x)=x3+ax2+bx+5（其中 aaa 和 bbb 为常数）含有因式 x−1x-1x−1，且除以 x−2x-2x−2 的余数为 −1-1−1。

完整解法

3(b)

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已知 $f(x)=x^3+ax^2+bx+5$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）含有因式 $x-1$ ，且除以 $x-2$ 的余数为 $-1$ 。