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余式定理与因式定理

余数定理和因式定理的应用，包括多项式的因式分解和解三次方程

这个知识点的练习题

1表达式 $f(x) = ax^3 + (a - 3b)x^2 + 3bx + c$ 能被 $x^2 + 3x$ 整除。当 $f(x)$ 除以 $x + 2$ 时，余数为 10。求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。由此将 $f(x)$ 完全…
2曲线方程为 $y=16-ax-x^{2}$ ，其中 $a$ 是正常数。已知 $y$ 可以表示为 $25-(b+x)^{2}$ 的形式，其中 $b$ 是正常数，求 $a$ 和 $b$ 的值。指出 $y$ 的最大值及对应的 $x$ 值。求当…
3证明 1 是方程 $x^3 - 5x^2 = 2 - 6x$ 的一个解。由此求方程 $x^3 - 5x^2 = 2 - 6x$ 的所有解，用根式形式表示非整数根。由此求方程 $(x-1)^3 - 5(x-1)^2 + 6x - 8 = 0$ …
4已知 $f(x)=x^3+ax^2+bx+5$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）含有因式 $x-1$ ，且除以 $x-2$ 的余数为 $-1$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用这些 $a$ 和 $b$ 的值，将 $f(x)$ 完全因式…
5已知 $\frac{2^x \times 32(2^x)}{8^{x+1}} = \frac{9(5^{2x}) - 5^{2x+1}}{5^x - 5^{x-1}}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $10^x$ 的值。解方程 $\sqrt{x+7} - x - 1 = 0$ …
6已知多项式 $\mathrm{f}(x)$ 为 $4x^3 - 6x^2 + kx + 3$ ，其中 $k$ 为常数。已知 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $2x-1$ 的余数为 14，求 $k$ 的值。当 $k = 2$ 时，二次…
7已知 $f(x) = 2x^3 + px^2 + 7x + q$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值，使得 $(x-3)$ 和 $(x-2)$ 是 $f(x)$ 的因式。由此解方程 $f(x) = 0$ 。
8当容器中液体的高度为 $h$ m时，液体的体积为 $V\text{ m}^3$ ，其中 $V = 0.06 \left[ (4h + 1)^3 - 7 \right] \text{ 且 } h \ge 0.25$ 求 $\frac{\text{d}V}{\text{d}h}$ …
9将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
10函数 $f$ 定义为 $f(x) = 3x^3 - 5cx^2 + kc^2x + 4c^3$ ，其中 $c$ 和 $k$ 是非零常数。当 $f(x)$ 除以 $x + 2c$ 时，余数为 $-32c^3$ 。求 $k$ 的值。利用 $k$ …
11按 $x$ 的升幂排列，求下列各项展开式中的前三项： $(1+4x)^7$ ， $(2-x)^7$ 。由此求 $(2+7x-4x^2)^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数。
12多项式 $f(x)$ 由 $f(x)=9x^3-30x^2-23x-4$ 给出。将 $f(x)$ 彻底因式分解。由此证明方程 $9x\sqrt{x}-23\sqrt{x}=4+30x$ 仅有一个实数根。求出该解。
13已知曲线方程为 $y = e^{-2x}\tan x$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2$ 。用含 $\pi$ 的式子表示当 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 时驻点的…
14 $x^3 + 17x^2 + 7x - 9$ 除以 $x - a$ 的余数是它除以 $x + a$ 的余数的两倍。证明 $3a^3 - 17a^2 + 21a + 9 = 0$ 。解方程 $3a^3 - 17a^2 + 21a + 9 = 0$ …
15已知 $y = 3e^{2x} + 2e^{-x}$ ，且 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = Ae^{2x} + Be^{-x}$ ，求常…
16已知 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + bx + 1$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $f(x)$ 能被 $x + 1$ 整除，且被 $2x - 1$ 除时余数为 3，求 $a$ 和 $b$ 的值。由此，解释为什么方…
17因式分解 $64 - (x + 1)^3$ 。由此，解方程 $64 - (x + 1)^3 = 15(3 - x)$ ，非整数根用根式形式表示。
18三次多项式 $\text{f}(x)$ 满足 $x^3$ 的系数为 $-1$ ，且 $\text{f}(x) = 0$ 的根为 $1$ 、 $k$ 和 $k^2$ 。已知 $\text{f}(x)$ 除以 $x - 2$ 的余数为 $-7$ 。证明…
19证明 $x+2$ 是方程 $2x^3 + 5x^2 + x - 2 = 0$ 的一个解，并由此求出该方程的全部解。
20因式分解 $x^3 - 125$ 。表达式 $-2x^3 + 7x^2 + ax + b$ （其中 $a$ 和 $b$ 为整数）含有因式 $x - 5$ ，且被 $2x + 1$ 除时的余数为 $-11$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。由此或…
21多项式 $\mathrm{f}(x) = Ax^3 - (2A + B)x^2 + 2x + B$ （其中 $A$ 和 $B$ 是常数）能被 $(x - 1)$ 整除。当 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $x$ 时，所得的余数是 3。…
22当 $f(x)$ 除以 $x - 1$ 时，余数为 $61$ 。当 $f(x)$ 除以 $x + 3$ 时，余数为 $-123$ 。求 $f(x)$ 除以 $x^2 + 2x - 3$ 时的余式。
23多项式 $f(x)$ 满足 $f(x)=6x^3+ax^2-50x+b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。已知 $f(x)$ 可被 $2x-3$ 整除，且 $f'(1)=6$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用你求得的 $a$ 和 $b$ …
24多项式方程由 $\mathrm{p}(x) = 4x^3 + x - 5$ 给出。求 $\mathrm{p}(x)$ 除以 $(2x - 1)$ 的余数。证明方程 $\mathrm{p}(x) = 0$ 仅有一个实根。由此，解方程 $2^{3y+2} + 2^y - 5 = 0$ …
25一个质点 P 从固定点 O 处由静止出发并沿直线运动。通过 O 点 $t\ \text{s}$ 后，质点的速度 $v\ \text{ms}^{-1}$ 由 $v = 8t - ct^{3}$ 给出，其中 $c$ 是一个正常数。 $2$ 秒后质…
26已知 $\frac{(\log_y x)^2}{\log_x y} + 64 = 0$ ，用 $x$ 表示 $y$ 。解方程 $\log_2 x + 3 = 2\log_2(x - 1)$ 。
27如图所示为 $y = x^{3} - 3x^{2} - x - 12$ 的图像。解释为什么 $x^{3} - 3x^{2} - x - 12$ 不能写成 3 个一次因式的乘积。证明 $x - 4$ 是 $x^{3} - 3x^{2} - x - 12$ …
28当多项式 $x^{3}+2kx+2$ 除以 $x+2$ 时，所得余数比该多项式除以 $x-1$ 时所得余数小 3。求 $k$ 的值。解方程 $2x^{3}-5x^{2}-3x+10=0$ ，非整数根用精确值表示。
29证明 $x - 2$ 是 $x^3 - 12x + 16$ 的因式。将 $\frac{2 + x^2}{x^3 - 12x + 16}$ 表示为三个部分分式之和。
30该图显示了一个猫抓架，它由一个固定在实心长方体上的实心圆柱体组成。圆柱体的半径为 $x\text{ cm}$ ，高度为 $y\text{ cm}$ 。长方体的底面是边长为 $3x\text{ cm}$ 的正方形，高度为 $x\text{ cm}$ …
31已知 $f(x)=2x^3+ax^2+bx-10$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）含有因式 $(x-1)^2$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。已知 $g(x)=f(x)+k$ ，其中 $k$ 为常数。利用在 (a) 中求得的 $a$ …
32证明 $x - 2$ 是 $x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6$ 的一个因式。将 $\dfrac{11 - 2x}{x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6}$ 化为部分分式。
33已知 $\text{p}(x) = (x+1)^3 + 5(x-1)^2 + ax + b$ 含有因式 $x-1$ ，且被 $x-2$ 除时的余数为 21，求 $a$ 和 $b$ 的值。
34已知 $\text{p}(x) = (x + 1)^3 + 5(x - 1)^2 + ax + b$ 含有因式 $x - 1$ ，且除以 $x - 2$ 时的余数为 21，求 $a$ 和 $b$ 的值。
35完成关于 $y = 9x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ 的表格。答案精确到小数点后一位。 | $x$ | $-1$ | $-0.75$ | $-0.5$ | $-0.25$ | $0$ | $0.25$ | $0.5$ | $0.75$ …
36利用多项式长除法，证明 $2x^2+1$ 是 $2x^3-4x^2+x-2$ 的一个因式。将 $\dfrac{-5x^2+11x-11}{2x^3-4x^2+x-2}$ 表示为部分分式。
37已知 $x^2 + 2x - 3$ 是 $\text{f}(x)$ 的一个因式，其中 $\text{f}(x) = x^4 + 4x^3 + 2x^2 + ax - b$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。由此，求 $\text{f}(x)$ …
38解方程 $2x^3 - x^2 - 15x - 10 = 0$ ，写出所有必要的解答步骤。解方程 $x - 3x + 1 = 0$ 。
39求 $3x^3 - x^2 + 4x + 2$ 除以 $x^2 + 1$ 时的余式。当 $x^3 + ax$ （其中 $a$ 是常数）除以 $x + 2$ 时的余数与它除以 $x - 1$ 时的余数相同。求 $a$ 的值。
40多项式 $P(x) = 5x^3 + ax^2 - x + b$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）能被 $x^2 + 4x + 3$ 整除。证明 $a = 16$ ，并求 $b$ 的值。由此解方程 $P(x) = 0$ 。利用适当的换元法…
41求 $6x^3 - 13x^2 + 17x - 6$ 除以 $2x - 1$ 的余数。证明方程 $6x^3 - 13x^2 + 17x - 6 = 0.$ 只有一个实根。
42将 $x^4 - 1$ 彻底因式分解。已知 $\frac{x^4}{x^4 - 1} = a + \frac{b}{x^4 - 1}$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。将 $\frac{x^4}{x^4 - 1}$ 表示为部分分式。
43将 $\frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\int \frac{9x^2 + 17x - 16}{3x^2 + 5x - 2} \, dx$ 。
44表达式 $2x^3 + ax^2 + bx + 10$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）含有因式 $x + 2$ ，且除以 $x - 3$ 的余数为 10。求 $a$ 和 $b$ 的值。
45表达式 $x^3-4x^2+ax+b$ （其中 $a$ 和 $b$ 为常数）含有因式 $x+1$ ，且除以 $x+3$ 时余数为 $-60$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用这些 $a$ 和 $b$ 的值，解方程 $x^3-4x^2+ax+b=0$ …
46已知 $\text{f}(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ ，证明 $x+2$ 是 $\text{f}(x)$ 的一个因式，并由此将 $\text{f}(x)$ 完全因式分解。由此，将 $\frac{2x^3 + 6x^2 + 7}{x^3 + 3x^2 - 4}$ …
47将 $2x^3+7x^2+4x-4$ 完全因式分解。将 $\dfrac{12x^2+32x+31}{2x^3+7x^2+4x-4}$ 表示为部分分式。
48 $f(x)$ 满足 $f''(x) = 18x - 4$ 。已知 $f(0) = 1$ 且 $f(2) = 9$ ，求 $f(x)$ 。证明 $x + 1$ 是一个因式。解方程 $f(x) = 0$ 。
49求 $\left(\frac{6}{e^{3-x}}\right)^2$ 对 $x$ 的积分。写出计算过程，解释为什么方程 $2x^3 + 3x^2 + 2x + 8 = 0$ 只有 1 个实根。由此求出该根。
50解方程 $2x^3 - 7x + 2 = 0$ ，将非有理数根保留为 $a \pm b\sqrt{2}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是有理数。
51两个变量 $x$ 和 $y$ 满足方程 $8y = \left(\frac{x}{2} - 1\right)^4$ 。已知 $x$ 和 $y$ 都随时间变化，求当 $y$ 的变化率是 $x$ 的变化率的两倍时 $x$ 的值。
52将 $2x^3 - 3x^2 - 5x + 6$ 彻底因式分解。由此，解方程 $2e^{3y} - 3e^{2y} - 5e^y + 6 = 0$ 。
53因式分解 $x^4 - y^4$ 。答：... 已知 $x^2 - 2xy = 1 - y^2$ ，请用 $x$ 表示 $y$ 。答：... 或 ...
54多项式方程为 $\text{f}(x) = 2x^3 - 7x^2 + 9x - 3$ 。将多项式 $\text{f}(x)$ 因式分解。确定方程 $\text{f}(x) = 0$ 根的性质。解方程 $2(3^{3y}) - 7(3^{2y}) + 3^{y+2} = 3$ …
55多项式 $P(x)=ax^3+x^2+bx+10$ 和 $Q(x)=x^3+ax^2-5x+b$ 除以 $x+2$ 所得的余数相同。证明 $4a+b=4$ 。如果 $P'(x)$ 含有因式 $3x-2$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。解…
56使用长除法，用 $2x^{3}-7x^{2}+2x+3$ 除以 $2x-4$ 。解方程 $2x^{3}-7x^{2}+2x+3=0$ 。 Kun Ye 声称方程 $2x^{3}-7x^{2}+2x+3=0$ 的解可以用来求解 $3y^{6}+2y^{4}-7y^{2}+2=0$ …
57多项式 $\mathrm{f}(x)$ 满足 $x^4$ 的系数为 $2$ 。方程 $\mathrm{f}(x) = 0$ 的根为 $\frac{3}{2}$ 和 $-1$ 。 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $x-1$ 的余数为 $-8$ …
58如图所示，曲线 $y = 16 + 6x - x^2$ 的一部分与直线 $y = 26 - x$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ 。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线 $y = 16 + 6x - x^2$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ …
59多项式 $f(x)$ 除以 $2x + 3$ 的余数为 $-1$ 。求 $f(x) - 1$ 除以 $2x + 3$ 时的余数。求 $f(x) - 1$ 除以 $2x + 3$ 时的余数。用 $f(x)$ 表示一个能被 $2x + 3$ …
60已知 $\mathrm{f}(x) = Ax(e^{kx})$ ，其中 $A$ 和 $k$ 是常数。求 $A$ 和 $k$ 的确切值，使得 $\mathrm{f}'(x) + 2ke^{kx} + 6\mathrm{f}(x) = 0$ 。