已知抛物线$C$：$y^{2}=2px(p > 0)$，圆$M$：$(x-2)^{2}+y^{2}=4$，圆心$M$到抛物线准线的距离为$3$，点$P(x_{0},y_{0})(x_{0}\geqslant 5)$是抛物线在第一象限上的点，过点$P$作圆$M$的两条切线，分别与$x$轴交于$A$，$B$两点． (1)求抛物线$C$的方程； (2)求$\triangle PAB$面积的最小值．

1. 写出抛物线的准线方程以及圆心坐标

由抛物线 $C$：$y^{2}=2px(p > 0)$ 可知，其准线方程为 $x = -\dfrac{p}{2}$。
圆 $M$：$(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 的圆心为 $M(2, 0)$。

2. 根据距离条件求出 $p$ 值并写出抛物线方程

因为圆心 $M(2,0)$ 到准线 $x = -\dfrac{p}{2}$ 的距离为 $3$，
所以 $2 - \left(-\dfrac{p}{2}\right) = 3$，解得 $p = 2$。
故抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4x$。

1. 设出切线方程，求出其与 $x$ 轴交点的横坐标

设切线方程为 $y-y_{0}=k(x-x_{0})$。
令 $y=0$，解得 $x=x_{0}-\dfrac{y_{0}}{k}$。
所以切线与 $x$ 轴的交点坐标为 $\left(x_{0}-\dfrac{y_{0}}{k}, 0\right)$。

2. 利用圆心到直线的距离等于半径建立关于斜率 $k$ 的二次方程

将切线方程化为一般式：$kx-y+y_{0}-kx_{0}=0$。
因为直线与圆 $M$ 相切，所以圆心 $M(2,0)$ 到切线的距离等于半径 $R=2$，
即 $d = \dfrac{|2k+y_{0}-kx_{0}|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 2$。
两边平方整理得：$(x_{0}-2)^{2}k^{2} - 2y_{0}(x_{0}-2)k + y_{0}^2 = 4(k^2+1)$。
由于 $P(x_{0},y_{0})$ 在抛物线 $y^2 = 4x$ 上，所以 $y_{0}^2 = 4x_{0}$。
代入整理得：$(x_{0}^{2}-4x_{0})k^{2} + (4y_{0}-2x_{0}y_{0})k + y_{0}^{2}-4 = 0$。

3. 应用韦达定理写出斜率的和与积

设两条切线的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$，则它们是上述关于 $k$ 的一元二次方程的两根。
根据根与系数的关系有：
$k_{1}+k_{2} = \dfrac{2x_{0}y_{0}-4y_{0}}{x_{0}^{2}-4x_{0}}$
$k_{1}k_{2} = \dfrac{y_{0}^{2}-4}{x_{0}^{2}-4x_{0}} = \dfrac{4(x_{0}-1)}{x_{0}(x_{0}-4)}$

4. 用 $x_0$ 表示三角形 $PAB$ 的面积并进行化简

三角形 $PAB$ 的面积为：
$S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2} |x_A - x_B| y_{0} = \dfrac{1}{2} \left| \left(x_{0}-\dfrac{y_{0}}{k_{1}}\right) - \left(x_{0}-\dfrac{y_{0}}{k_{2}}\right) \right| y_{0} = \dfrac{1}{2} y_{0}^{2} \left| \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}k_{2}} \right|$
由 $y_{0}^2 = 4x_{0}$ 可知：
$S_{\triangle PAB} = 2x_{0} \dfrac{\sqrt{(k_{1}+k_{2})^{2}-4k_{1}k_{2}}}{k_{1}k_{2}}$
计算代入可得 $\sqrt{(k_{1}+k_{2})^{2}-4k_{1}k_{2}} = \dfrac{4}{x_{0}-4}$。
代入得 $S_{\triangle PAB} = 2x_{0} \cdot \dfrac{\dfrac{4}{x_{0}-4}}{\dfrac{4(x_{0}-1)}{x_{0}(x_{0}-4)}} = \dfrac{2x_{0}^{2}}{x_{0}-1}$。

5. 求出面积函数在定义域上的最小值

将面积公式变形为：
$S_{\triangle PAB} = \dfrac{2x_{0}^{2}}{x_{0}-1} = 2 \dfrac{(x_{0}-1)^{2}+2(x_{0}-1)+1}{x_{0}-1} = 2 \left[ (x_{0}-1) + \dfrac{1}{x_{0}-1} + 2 \right]$。
令 $t = x_{0}-1$，因为 $x_{0} \ge 5$，所以 $t \in [4, +\infty)$。
设 $f(t) = t + \dfrac{1}{t} + 2$，对其求导得 $f'(t) = 1 - \dfrac{1}{t^{2}} = \dfrac{t^{2}-1}{t^{2}}$。
当 $t \ge 4$ 时，$f'(t) > 0$，所以 $f(t)$ 在 $[4, +\infty)$ 上单调递增。
因此，当 $t = 4$ 即 $x_{0} = 5$ 时，面积取得最小值：
$S_{\min} = 2 \left( 4 + \dfrac{1}{4} + 2 \right) = \dfrac{25}{2}$。
所以 $\triangle PAB$ 面积的最小值为 $\dfrac{25}{2}$。