设PP为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)上任一点,F1F_{1},F2F_{2}为椭圆的焦点,∣PF1∣+∣PF2∣=4|PF_{1}|+|PF_{2}|=4,离心率为32 \dfrac { \sqrt {3}}{2}. ((Ⅰ))求椭圆的标准方程; ((Ⅱ))直线ll:y=kx+m(m≠0)y=kx+m(m\neq 0)与椭圆交于PP、QQ两点,试问参数kk和mm满足什么条件时,直线OPOP,PQPQ,OQOQ的斜率依次成等比数列; ((Ⅲ))求△OPQ\triangle OPQ面积的取值范围.

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完整解法

(Ⅰ)

1. 根据椭圆定义和离心率求出 $a, b, c$ 的值,写出椭圆标准方程

由椭圆定义,∣PF1∣+∣PF2∣=2a=4|PF_{1}| + |PF_{2}| = 2a = 4,解得 a=2a = 2。
由离心率 e=ca=32e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},得 c=3c = \sqrt{3}。
又 b2=a2−c2=22−(3)2=1b^{2} = a^{2} - c^{2} = 2^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 1。
所以,椭圆的标准方程为 x24+y2=1\dfrac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1。

答案

椭圆的标准方程为 x24+y2=1\dfrac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1。

(Ⅱ)

1. 联立直线与椭圆方程,得到一元二次方程并求出根的判别式及韦达定理表达

将直线方程 y=kx+my = kx + m 代入椭圆方程 x24+y2=1\dfrac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1,得:
x24+(kx+m)2=1\dfrac{x^{2}}{4} + (kx + m)^{2} = 1
整理得:
(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0(1 + 4k^{2})x^{2} + 8kmx + 4m^{2} - 4 = 0
设交点为 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_{1}, y_{1}), Q(x_{2}, y_{2})。
直线与椭圆交于两点,故判别式:
Δ=(8km)2−4(1+4k2)(4m2−4)=16(4k2+1−m2)>0\Delta = (8km)^{2} - 4(1 + 4k^{2})(4m^{2} - 4) = 16(4k^{2} + 1 - m^{2}) > 0
即 4k2+1>m24k^{2} + 1 > m^{2}。
由韦达定理得:
x1+x2=−8km1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2x_{1} + x_{2} = -\dfrac{8km}{1 + 4k^{2}}, \quad x_{1}x_{2} = \dfrac{4m^{2} - 4}{1 + 4k^{2}}

2. 由斜率成等比数列建立等式,解出 $k$ 并确定 $m$ 的取值范围

直线 OP,PQ,OQOP, PQ, OQ 的斜率分别为 kOP=y1x1k_{OP} = \dfrac{y_{1}}{x_{1}},kPQ=kk_{PQ} = k,kOQ=y2x2k_{OQ} = \dfrac{y_{2}}{x_{2}}。
因为斜率依次成等比数列,所以 kOP⋅kOQ=kPQ2k_{OP} \cdot k_{OQ} = k_{PQ}^{2},即:
y1y2x1x2=k2  ⟹  y1y2=k2x1x2\dfrac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}} = k^{2} \implies y_{1}y_{2} = k^{2}x_{1}x_{2}
又由于 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2y_{1}y_{2} = (kx_{1} + m)(kx_{2} + m) = k^{2}x_{1}x_{2} + km(x_{1} + x_{2}) + m^{2},
所以 km(x1+x2)+m2=0km(x_{1} + x_{2}) + m^{2} = 0。
因为 m≠0m \neq 0,两边同除以 mm 得:
k(x1+x2)+m=0k(x_{1} + x_{2}) + m = 0
代入 x1+x2=−8km1+4k2x_{1} + x_{2} = -\dfrac{8km}{1 + 4k^{2}}:
k(−8km1+4k2)+m=0  ⟹  m(1−8k21+4k2)=0k \left( -\dfrac{8km}{1 + 4k^{2}} \right) + m = 0 \implies m \left( 1 - \dfrac{8k^{2}}{1 + 4k^{2}} \right) = 0
再次由 m≠0m \neq 0 得 1+4k2−8k2=0  ⟹  4k2=1  ⟹  k=±121 + 4k^{2} - 8k^{2} = 0 \implies 4k^{2} = 1 \implies k = \pm \dfrac{1}{2}。
将 k2=14k^{2} = \dfrac{1}{4} 代入判别式条件 4k2+1>m24k^{2} + 1 > m^{2},得 2>m22 > m^{2},即 0<∣m∣<20 < |m| < \sqrt{2}。
同时,斜率需存在且不为0,要求 x1x2≠0x_{1}x_{2} \neq 0 且 y1y2≠0y_{1}y_{2} \neq 0。
当 x1x2=0x_{1}x_{2} = 0 时,4m2−41+4k2=0  ⟹  m2=1  ⟹  m=±1\dfrac{4m^{2} - 4}{1 + 4k^{2}} = 0 \implies m^{2} = 1 \implies m = \pm 1。
故需扣除 m=±1m = \pm 1。
综上,参数 kk 和 mm 满足的条件为:k=±12k = \pm \dfrac{1}{2},且 m∈(−2,−1)∪(−1,0)∪(0,1)∪(1,2)m \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \sqrt{2})。

答案

k=±12k = \pm \dfrac{1}{2},且 m∈(−2,−1)∪(−1,0)∪(0,1)∪(1,2)m \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \sqrt{2})。

(Ⅲ)

1. 将 $\triangle OPQ$ 的面积表示为关于 $m$ 的表达式

原点 OO 到直线 y=kx+my = kx + m 的距离为 d=∣m∣1+k2d = \dfrac{|m|}{\sqrt{1 + k^{2}}}。
线段 PQPQ 的长度为 ∣PQ∣=1+k2∣x1−x2∣|PQ| = \sqrt{1 + k^{2}} |x_{1} - x_{2}|。
所以 △OPQ\triangle OPQ 的面积为:
S=12d⋅∣PQ∣=12∣m∣∣x1−x2∣S = \dfrac{1}{2} d \cdot |PQ| = \dfrac{1}{2} |m| |x_{1} - x_{2}|
由第(Ⅱ)问,当 k=±12k = \pm \dfrac{1}{2} 时,1+4k2=21 + 4k^{2} = 2,
∣x1−x2∣=Δ1+4k2=16(2−m2)2=22−m2|x_{1} - x_{2}| = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{1 + 4k^{2}} = \dfrac{\sqrt{16(2 - m^{2})}}{2} = 2\sqrt{2 - m^{2}}
代入面积公式得:
S=12∣m∣⋅22−m2=m2(2−m2)S = \dfrac{1}{2} |m| \cdot 2\sqrt{2 - m^{2}} = \sqrt{m^{2}(2 - m^{2})}

2. 确定变量范围并利用二次函数最值求出面积的取值范围

设 t=m2t = m^{2}。由第(Ⅱ)问知,0<m2<20 < m^{2} < 2 且 m2≠1m^{2} \neq 1,即 t∈(0,1)∪(1,2)t \in (0, 1) \cup (1, 2)。
设 g(t)=t(2−t)=−(t−1)2+1g(t) = t(2 - t) = -(t - 1)^{2} + 1。
当 t∈(0,1)∪(1,2)t \in (0, 1) \cup (1, 2) 时,g(t)g(t) 的取值范围为 (0,1)(0, 1)。
因此,S=g(t)∈(0,1)S = \sqrt{g(t)} \in (0, 1)。
故 △OPQ\triangle OPQ 面积的取值范围是 (0,1)(0, 1)。

答案

△OPQ\triangle OPQ 面积的取值范围为 (0,1)(0, 1)。

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