设为椭圆上任一点,,为椭圆的焦点,,离心率为. Ⅰ求椭圆的标准方程; Ⅱ直线:与椭圆交于、两点,试问参数和满足什么条件时,直线,,的斜率依次成等比数列; Ⅲ求面积的取值范围.
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完整解法
(Ⅰ)
1. 根据椭圆定义和离心率求出 $a, b, c$ 的值,写出椭圆标准方程
由椭圆定义,,解得 。
由离心率 ,得 。
又 。
所以,椭圆的标准方程为 。
答案
椭圆的标准方程为 。
(Ⅱ)
1. 联立直线与椭圆方程,得到一元二次方程并求出根的判别式及韦达定理表达
将直线方程 代入椭圆方程 ,得:
整理得:
设交点为 。
直线与椭圆交于两点,故判别式:
即 。
由韦达定理得:
2. 由斜率成等比数列建立等式,解出 $k$ 并确定 $m$ 的取值范围
直线 的斜率分别为 ,,。
因为斜率依次成等比数列,所以 ,即:
又由于 ,
所以 。
因为 ,两边同除以 得:
代入 :
再次由 得 。
将 代入判别式条件 ,得 ,即 。
同时,斜率需存在且不为0,要求 且 。
当 时,。
故需扣除 。
综上,参数 和 满足的条件为:,且 。
答案
,且 。
(Ⅲ)
1. 将 $\triangle OPQ$ 的面积表示为关于 $m$ 的表达式
原点 到直线 的距离为 。
线段 的长度为 。
所以 的面积为:
由第(Ⅱ)问,当 时,,
代入面积公式得:
2. 确定变量范围并利用二次函数最值求出面积的取值范围
设 。由第(Ⅱ)问知, 且 ,即 。
设 。
当 时, 的取值范围为 。
因此,。
故 面积的取值范围是 。
答案
面积的取值范围为 。
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