已知不等式$a{x}^{2}-3x+2>0$的解集为$\{x|x< 1或x>b\}.(1)$求$a$、$b$的值； (2)解关于$x$的不等式${x}^{2}-b(a+c)x+4c>0.$

1. 将不等式的解集转化为对应二次方程的根及系数关系

已知不等式 $ax^2 - 3x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x \mid x < 1 \text{ 或 } x > b\}$，说明 $a > 0$ 且 $1$ 和 $b$ 是方程 $ax^2 - 3x + 2 = 0$ 的两个实数根（其中 $b > 1$）。
根据韦达定理（根与系数的关系），有：
$1 + b = \frac{3}{a}$
$1 \cdot b = \frac{2}{a}$

2. 求解方程组求出 $a$ 与 $b$ 的值

由 $b = \frac{2}{a}$ 代入 $1 + b = \frac{3}{a}$ 得：
$1 + \frac{2}{a} = \frac{3}{a} \implies \frac{1}{a} = 1 \implies a = 1$
代回得 $b = 2$。
经检验，$a = 1 > 0$，$b = 2 > 1$，符合题意。

1. 代入已知参数值并对一元二次不等式进行因式分解

将 $a = 1, b = 2$ 代入不等式 $x^2 - b(a+c)x + 4c > 0$ 得：
$x^2 - 2(1+c)x + 4c > 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x - 2c) > 0$
对应方程 $(x - 2)(x - 2c) = 0$ 的两根分别为 $x_1 = 2$ 和 $x_2 = 2c$。

2. 对两根的大小关系进行分类讨论，写出不同情况下的解集

比较两根 $2$ 与 $2c$ 的大小关系（即比较 $c$ 与 $1$ 的大小）：
① 当 $2c < 2$（即 $c < 1$）时，不等式的解集为 $\{x \mid x < 2c \text{ 或 } x > 2\}$；
② 当 $2c = 2$（即 $c = 1$）时，不等式化为 $(x - 2)^2 > 0$，解集为 $\{x \mid x \neq 2\}$；
③ 当 $2c > 2$（即 $c > 1$）时，不等式的解集为 $\{x \mid x < 2 \text{ 或 } x > 2c\}$。