求过$A(1,0)$与$B(0,1)$两点，且在$x$轴上截得的弦长等于$6$的圆的方程．

1. 设出圆的一般方程，代入已知点得到变量之间的关系

设所求圆的一般方程为 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$（其中 $D^2+E^2-4F>0$）。
将 $A(1,0)$ 与 $B(0,1)$ 代入圆的方程，得：
$\begin{cases} 1+D+F=0 \\ 1+E+F=0 \end{cases}$
从而得到 $D = E = -1-F$。

2. 利用圆在 $x$ 轴上截得的弦长建立关于 $D$ 和 $F$ 的方程

令 $y=0$，得圆在 $x$ 轴上交点的方程为 $x^2+Dx+F=0$。
设交点横坐标为 $x_1, x_2$，则有 $x_1+x_2=-D$，$x_1x_2=F$。
根据在 $x$ 轴上截得的弦长等于 $6$，得：
$|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} = \sqrt{D^2-4F} = 6$
即 $D^2-4F = 36$。

3. 联立方程组求出 $D, E, F$ 的值

将 $D = -1-F$ 代入 $D^2-4F = 36$ 中，得：
$(-1-F)^2-4F = 36 \Rightarrow F^2-2F-35 = 0$
解得 $F = 7$ 或 $F = -5$。
当 $F = 7$ 时，$D = E = -8$；
当 $F = -5$ 时，$D = E = 4$。
两组解均满足 $D^2+E^2-4F>0$。

4. 写出圆的方程

综上，所求圆的方程为 $x^2+y^2+4x+4y-5=0$ 或 $x^2+y^2-8x-8y+7=0$。