在平面直角坐标系中，点$O$为坐标原点，直线$y=kx+k(k > 0)$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，过点$A$的抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴交于另一点$P(1)$若抛物线$y=x^{2}+bx+c$与直线$y=kx+k$的另一个交点恰好为点$B$，求$k$与$b$的关系式； (2)当$b-2k=3$时，若点$P$到直线$y=kx+k$的距离为$d$，试比较$d \sqrt {1+k^{2}}$与$OB+2b$的大小，并说明理由．

1. 求一次函数图象与坐标轴交点 $A$ 和 $B$ 的坐标

在直线 $y=kx+k$ ($k>0$) 中，
令 $y=0$，解得 $x=-1$，则点 $A$ 的坐标为 $A(-1,0)$；
令 $x=0$，解得 $y=k$，则点 $B$ 的坐标为 $B(0,k)$。

2. 利用待定系数法求 $k$ 与 $b$ 的关系式

因为抛物线 $y=x^{2}+bx+c$ 过点 $A(-1,0)$，
代入可得：$0 = (-1)^{2} + b(-1) + c$，即 $c = b - 1$。
又因为抛物线与直线的另一个交点为 $B(0,k)$，
代入可得：$k = 0^{2} + b(0) + c$，即 $k = c$。
所以 $k = b - 1$。

1. 求点 $P$ 的坐标并计算线段 $AP$ 的长度

由已知 $b - 2k = 3$，得 $b = 2k + 3$。
又由(1)可知 $c = b - 1 = 2k + 2$，
所以抛物线的解析式为 $y = x^{2} + (2k+3)x + 2k+2$。
令 $y = 0$，得 $x^{2} + (2k+3)x + 2k+2 = 0$，
因式分解得 $(x+1)(x+2k+2) = 0$，
解得 $x_{1} = -1$，$x_{2} = -2k-2$。
因为点 $A$ 的坐标为 $(-1,0)$，所以点 $P$ 的坐标为 $P(-2k-2,0)$。
因为 $k > 0$，所以 $-2k-2 < -1$，
所以 $AP = -1 - (-2k-2) = 2k+1$。

2. 利用三角函数求出 $d \sqrt{1+k^2}$ 的表达式

在 Rt$\triangle AOB$ 中，由于 $OA=1$，$OB=k$，由勾股定理得 $AB = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}} = \sqrt{1+k^{2}}$。
所以 $\sin \angle OAB = \frac{OB}{AB} = \frac{k}{\sqrt{1+k^{2}}}$。
因为点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为 $d$，所以 $d = AP \cdot \sin \angle OAB$。
所以 $d = (2k+1) \cdot \frac{k}{\sqrt{1+k^{2}}}$，
变形得 $d \sqrt{1+k^{2}} = 2k^{2} + k$。

3. 通过作差法比较两个代数式的大小

因为 $OB = k$，$b = 2k+3$，所以 $OB + 2b = k + 2(2k+3) = 5k + 6$。
作差比较：
$d \sqrt{1+k^{2}} - (OB+2b) = 2k^{2} + k - (5k+6) = 2k^{2} - 4k - 6 = 2(k-3)(k+1)$
因为 $k > 0$，所以 $2(k+1) > 0$。

• 当 $0 < k < 3$ 时，$k-3 < 0$，此时 $d \sqrt{1+k^{2}} - (OB+2b) < 0$，即 $d \sqrt{1+k^{2}} < OB+2b$；
• 当 $k = 3$ 时，$k-3 = 0$，此时 $d \sqrt{1+k^{2}} - (OB+2b) = 0$，即 $d \sqrt{1+k^{2}} = OB+2b$；
• 当 $k > 3$ 时，$k-3 > 0$，此时 $d \sqrt{1+k^{2}} - (OB+2b) > 0$，即 $d \sqrt{1+k^{2}} > OB+2b$。