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锐角三角函数

利用锐角三角比（正弦、余弦和正切）计算直角三角形中未知的边长和角度

这个知识点的练习题

  1. 1在图中，有两个直角三角形 ΔABD 和 ΔCEB，使得 AD = 12 cm，BD = 15 cm，BE = 20 cm。 求 cos⁡∠ABD\cos \angle ABD。 答案 ___ 如果 ΔABD 和 ΔCEB 相似，求 BC 的长度。 答案…
  2. 2在三角形 ABC 中，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ，BX=2XCBX = 2XC 且 sin⁡∠AXC=35\sin \angle AXC = \dfrac{3}{5}。 用最简分数表示， tan ∠AXB\angle AXB。 答案 ... tan…
  3. 3图中显示了一个港口 H、一个灯塔 L 以及两个浮标 P 和 Q 的位置。HPQ 是一条直线。从 H 观测 P 的方位角为 306°。HP = 3 km，PL = 2.5 km，且角 HPL = 124°。 求以下各项的方位角： 从 P 处观…
  4. 4一根长为 50 cm 的木头形状为均匀圆柱体。从该木头中切出一个棱柱，使其横截面为圆的一个劣弓形，圆心为 O，半径为 r cm，且 ∠AOB=79π\angle AOB = \frac{7}{9}\pi 弧度。 已知该劣弓形的面积为 3×10−3 m23 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}^2…
  5. 5点 A、B、C、D 和 E 如下图所示，其中 ABC 和 AED 是直线，且 BE = 8\sqrt{8} cm。 在不使用计算器的情况下，求 sin ABE。 答案：... cos ABE 答案：... 利用你在 (a)(i) 中的答案…
  6. 6如图所示，BABA 和 BCBC 是以 OO 为圆心的圆的切线。BOBO 与圆相交于点 DD，OA=10OA = 10 cm 且 BC=28BC = 28 cm。 求 BDBD 的长。 答案 ___ cm 求阴影区域 ABCDABCD 的面积。 答案…
  7. 7如图所示，PQRS 是一面高为 2.5 m、长为 7.5 m 的垂直矩形墙面。 T 是墙基 RS 处的水平地面上的一点。 ∠STR = 95° 且 ∠SRT = 40°。 X 是 ST 上的一点，使得 SX : XT 为 1 : 3。 计算…
  8. 8图中显示了一个花园中水平地面上的四个点 P、Q、R 和 S。 P 在 Q 的正南方。从 P 和 Q 观测 S 的方位角分别为 068° 和 126°。 PS = 460 米，QR = 562 米。 已知从 Q 观测 R 的方位角为 098°…
  9. 9在平面直角坐标系中，点OO为坐标原点，直线y=kx+k(k>0)y=kx+k(k > 0)与xx轴交于点AA，与yy轴交于点BB，过点AA的抛物线y=x2+bx+cy=x^{2}+bx+c与xx轴交于另一点P(1)P(1)…
  10. 10在图中，ABCDEFGH 是一个尺寸为 8 cm × 6 cm × 15 cm 的长方体。V 是矩形底面的中心。 证明 EV = 15.8 cm（精确到 3 位有效数字）。 答 计算角 ACE。 答 ... ° 从该长方体中切除一个棱锥 E…
  11. 11解方程 2cosec⁡(x−π3)=−42\cosec\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-4，其中 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi。 解方程 cot⁡(2x+10∘)=tan⁡70∘\cot(2x+10^\circ)=\tan70^\circ，其中 0∘≤x≤360∘0^\circ\le x\le 360^\circ…
  12. 12sin⁡x∘=0.66913\sin x^{\circ} = 0.66913 已知 xx 是钝角，求 xx。 答：x = ... cos⁡y∘=−cos⁡121∘\cos y^{\circ} = -\cos 121^{\circ} 已知 yy 是锐角，求 yy 的值。 答：y = .…
  13. 13上图显示了一个几何体。 该几何体的横截面是一个半径为 5 cm，圆心角为 30° 的扇形。 水平截面 OST 和 RUV 相距 7 cm。 S、T、U 和 V 位于该几何体的曲面上。 线段 OR、TU 和 SV 是垂直的。 求： 用 π 表…
  14. 14在△ABC\triangle ABC中，∠C=90°∠C=90°，tan⁡A=43\tan A=\dfrac{4}{3}，AB=20AB=20，则AC=AC=___.
  15. 15三角形 PQR 是一个直角三角形，其中 PQ = 10 cm，QR = 6 cm 且 ∠PRQ = 90°。M 是 PR 上的一点，使得 MR = 5 PM。 （请参考图表。） 求以下各项的值，并将答案写成最简分数形式： tan ∠MQR，…
  16. 16该图显示了水平地面上的平行四边形 ABCD，其中 AC 是一条路径。AB = 15 m 且 BC = 8 m。从 A 观测 B 的方位角为 050°。 求平行四边形 ABCD 的面积。 答案 ...m^2 求路径 AC 的长度。 答案 ..…
  17. 17下图显示了一个以 BC = 34 cm 为直径的半圆 BAC。AD 和 BCD 是两条直线。 已知 cos⁡∠ABC=817\cos\angle ABC = \dfrac{8}{17}，在不求出角 ABC 和角 ACD 的值的情况下，求 cos⁡∠ACD\cos\angle ACD…
  18. 18图中显示了一个以 P(5,3)P(5, 3) 为圆心的圆 C1C_1。该圆与 x 轴、切线 OQ 以及另一条平行于 y 轴的直线 QR 相切。 写出该圆的方程。 求圆 C2C_2 的方程，圆 C2C_2 是圆 C1C_1 关于直线 QR 对称得到的…
  19. 19上图显示了一个位于水平地面上的公园 ABCDABCD，被一条笔直的小路 ACAC 穿过。点 BB 在 CC 的正北方。 AB=700 mAB = 700\ \mathrm{m}，BC=550 mBC = 550\ \mathrm{m} 且 CD=780 mCD = 780\ \mathrm{m}…
  20. 20在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ） A. 都扩大两倍 B. 都缩小两倍 C. 不变 D. 都扩大四倍
  21. 21图示为海平面上 3 个点 A、B 和 C 的位置。AB = 4.83 km 且 BC = 7.24 km。从 A 测得 B 的方位角为 064°，从 B 测得 C 的方位角为 127°。 证明 AC = 10.368 km。 由此求出从 C…
  22. 22A、B 和 C 分别是点 (6, 10)、(6,6) 和 (q, 2)。 三角形 ABC 的面积为 16 平方单位。 证明 q = -2。 答 在不使用计算器的前提下，求 tan⁡∠CAB\tan \angle CAB 的确切值，并用最简分数表示。 求…
  23. 23已知 0<x<1800 < x < 180，求使 sin⁡x∘=0.985\sin x^{\circ} = 0.985 成立的 xx 的可能值。 答案精确到小数点后一位。 答案 x = ... 或 ...
  24. 24如图所示，点 P、Q 和 R 的坐标分别为 (9, -3)、(6,1) 和 (18, -3)。 求 PQ 的长度。 答：... 单位 求 cos ∠QPR 的值，答案用最简分数表示。 答：... 求三角形 PQR 的面积。 答：... 平方…
  25. 25已知F1F_{1}，F2F_{2}分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>0,b>0)的左、右焦点，PP是该双曲线右支…
  26. 26图中，BDCE 是一条直线。BD = 4 cm，AC = 10 cm，且 AB = AD。 已知三角形 ABD 的面积为 16 cm²，证明三角形 ABD 的垂直高度为 8 cm。 以分数形式写出下列各项的值： sin ∠ACE tan ∠…
  27. 27图中显示了一个木制斜坡，其中 ∠BCF=90∘\angle BCF = 90^\circ 且 ∠CBF=35∘\angle CBF = 35^\circ。ABCD、CDEF 和 ABFE 均为矩形。AB = 40 cm 且 BC = 75 cm。求 ∠FAC\angle FAC…
  28. 28在平行四边形 PQRS 中，QR = 12.7 cm 且角 PQR = 50°。 证明 RS 的长度为 5.407 cm。 答 由此或用其他方法，计算平行四边形 PQRS 较长对角线的长度。 答 ... cm
  29. 29图中显示了一张长方形桌子 ABCD 的摆放方式，使得边 AD 与墙壁成 θ\theta 角。AB 和 BC 的长度分别为 0.7 m 和 1.8 m。从 C 到墙壁的垂直距离为 LL 米。 清晰地解释为什么 L=1.8sin⁡θ+0.7cos⁡θL = 1.8\sin\theta + 0.7\cos\theta…
  30. 30该图显示了一个直角三角形 AOB，其中 AO = 15 cm 且 BO = 8 cm。P 在 AB 上，使得 OP 是以 A 为圆心的圆弧。Q 在 AB 上，使得 OQ 是以 B 为圆心的圆弧。 证明角 ABO 约为 1.0808 弧度（保…
  31. 31在△ABC\triangle ABC中，∠C=90°∠C=90°，若cos⁡A=13\cos A=\dfrac{1}{3}，则sin⁡B\sin B的值为___；
  32. 32该图显示了一个半圆，圆心为 O，半径为 16 cm。 证明角 AOB = 1.287 弧度（精确到 3 位小数）。 答案 计算阴影区域的面积。 答案 ... cm^2 该半圆是放置在水平地面上、长度为 2.8 m 的水槽的横截面。 阴影区域…
  33. 33P、Q、R 和 S 是位于一个岛屿上的四个村庄，其中 Q 位于 R 的正北方。PQ = 924 m，QR = 640 m，PR = 1124 m，RS = 583 m。角 RPS = 26°，且角 PSR 为钝角。 证明 P 位于 Q 的正…
  34. 34图中显示了两根在 P 点铰接的杆 PA 和 PB。两杆滑动时，P、A 和 B 处于同一铅直面上。当 P 向下移动时，A 和 B 将在水平地面上向相反方向移动。A 和 B 之间的水平距离为 x 米，P 距离地面的高度为 y 米。 用 y 表示…
  35. 35一个钝角的正弦值是 5/135/13。 在不使用计算器的情况下，求该角余弦的值。 答 ...
  36. 36该图显示了水平地面上的四个点 P、Q、R 和 S。 Q 位于 P 的正东方向。 角 SPQ = 40°，角 PSR = 15°。 PQ = 30 m，PR = 35 m，RS = 28 m。 计算 从 P 到 R 的方位角， QR 的长度，…
  37. 37O 是等边三角形的中心。 三角形 ABC 是一个棱锥的底面。 顶点 X 垂直位于 O 的正上方，且 AX = 18 cm。 证明 OA 的长度为 4.619 cm（精确到 3 位小数）。 答案 计算该棱锥的总表面积。 答案 ... cm^2…
  38. 38如下图所示，一个标志包含一个以 O 为圆心、半径为 2 cm 的圆，一个边长为 5 cm 的等边三角形 ABC，以及一个满足 OD = OF 的等腰三角形 DEF。DEF 在点 E 处与圆相切，且角 DOF = 2.4 弧度。 圆的一半位于…
  39. 39下图显示了一个形状为梯形柱体的室内冒险乐园，其底面 ABCD 为正方形。该室内冒险乐园位于水平地面上，墙面 ADHE 和 BCGF 是倾斜的。 该柱体的顶部 EFGH 是冒险乐园的天花板，它也是水平的。EFGH 是一个正方形，且 EFGH…
  40. 4022 P、Q 和 R 是水平地面上的三个点，使得 RPQ 构成一个直角三角形，其中 PQ 和 RQ 的长度分别为 135 m 和 205 m。已知 P 处有一座高度为 50 m 的建筑物，且 Q 相对于 P 的方位角为 119∘119^\circ…
  41. 41图中显示了一个高度为 9 米的棱柱形阶梯教室。 阶梯教室的地板 ABCD 是一个等腰梯形。 AB = 45 米，CD = 17 米，AD = 21 米，且 AB 平行于 DC。 J 是 AB 上的一个点，使得 DJ 垂直于 AB。 该阶梯教…
  42. 42图示为一根塑料管的横截面。弧 AB 是以 O 为圆心、半径为 45 mm 的圆的一部分。管子的厚度均匀，为 x mm。阴影部分表示注满水的横截面积。AB = 65.32 mm。 证明 ∠AOB=1.6243\angle AOB = 1.6243 弧度。 已知…
  43. 43下图显示了平地上的三个点 A、B 和 C。 AB = 80 m，AC = 100 m，BC = 90 m。C 位于 A 的正东方。 证明角 ACB = 49.5°，结果精确到一位小数。 由此，计算 C 相对 B 的方位角。 答案 ... °…
  44. 44如图所示，OAPB 是一个以 O 为圆心、半径为 9 cm 的扇形。 角 AOB = 1.4 弧度。 C 是该扇形内切圆的圆心。 OCP 是一条直线，且该圆与扇形相切于点 P、Q 和 R。 证明该内切圆的半径为 3.526 cm（保留三位小…
  45. 45观察下列等式 ①sin⁡30∘=12cos⁡60∘=12②sin⁡45∘=22cos⁡45∘=22③sin⁡60∘=32cos⁡30∘=32…①\sin 30^{\circ}= \dfrac {1}{2}\cos 60^{\circ}= \dfrac {1}{2}②\sin 45^{\circ}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\cos 45^{\circ}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}③\sin 60^{\circ}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\cos 30^{\circ}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}……
  46. 46应用计算器填一填，分别比较各个三角函数值的大小，说一说有什么规律： （1）cos20°= ，cos40°= ，cos60°= ；cos80°= ；规律： （2）tan10°= ，tan30°= ，tan50°= ；tan70°= ． 规律：…
  47. 47ABL 是水平地面上的一个公园。 A 距离 L 为 1390 m，方位角为 076°。 B 距离 L 为 960 m，方位角为 138°。 求 AB。 答案 ... m 求角 LAB。 答案 ... 求三角形 LAB 的面积。 答案 ...…
  48. 48图中显示了一个三角形 ABC，延长 AB 至 D。AB=18 cmAB = 18\,\mathrm{cm}，BC=20 cmBC = 20\,\mathrm{cm}，AC=22 cmAC = 22\,\mathrm{cm}，DC=30 cmDC = 30\,\mathrm{cm} 且 ∠ADC=39∘\angle ADC = 39^\circ…
  49. 49A、B、C、D 是水平地面上的点。 AB = 35 m 且 BC = 68 m。 从 A 观测 B 的方位角为 137∘137^\circ，从 B 观测 C 的方位角为 192∘192^\circ。 角 ABD = 85∘85^\circ 且角 BC…
  50. 50该图表示一块平坦的土地 PQRS。 求： 土地 PQRS 的面积。 答：___ m^2 PS 的长度。 答：___ m 角 PSR, 答：___ ° S 到 PR 的最短距离。 答：___ m T 是位于 S 处的垂直塔的塔顶。 从 R 处…
  51. 51顶点为 A (2, 5)、B (−2, −3) 和 C (2, −2) 的三角形如下图所示。 求 (a) 三角形 ABC 的面积， 答 ... unit^2 点 D 的坐标，使得 ABCD 是一个平行四边形， 答 (... , ...) 平…
  52. 52一个容器是直三棱柱，其横截面为直角三角形。容器的高度为 12 cm。 以恒定的速率向空容器中注水。注满容器需要 8 分钟。 在 tt 分钟后，水的深度为 dd cm。 求当 d=6d = 6 cm 时 tt 的值。 答 答 tt =…
  53. 53轮挡是放置在轮子或圆形物体旁以防止其移动的阻木。 珍妮（Jenny）需要为一种新型轮挡的设计提出一个原型。珍妮绘制了该轮挡的模型，其横截面如下图所示。 证明 BC=28(7+r)BC = \sqrt{28(7 + r)}。 已知 BC = 20 cm，求阴…
  54. 54图中显示了一个内接于圆的正十二边形，以及一个直角三角形 PQR，其中边长 QR=6QR = 6 cm。已知 tan⁡∠QPR=34\tan \angle QPR = \dfrac{3}{4}。三角形 ABCABC 与三角形 PQRPQR 的面积比为 1 : 6。 求…
  55. 55已知∠A+∠B=90°，sinB=0.8436，那么cosA=
  56. 56已知 cos⁡(A+B)=−513\cos(A+B)= -\dfrac{5}{13} 且 sin⁡Asin⁡B=1526\sin A\sin B=\dfrac{15}{26}，其中 A 和 B 是锐角，且角 A > 角 B。 求 cos⁡Acos⁡B\cos A\cos B。 利用你得到的结果，求 tan⁡(A−B)\tan(A-B)…
  57. 57图 1 显示了一个等腰梯形棱柱 ABCDEFGH 形状的无盖容器，其正方形底面 ABCD 的边长为 xx cm，其中 xx 是常数。侧面 ABFE 和 DCGH 垂直于底面 ABCD。然后将该容器沿 BC 倾斜，使得侧面 BCGF 和底…
  58. 58图示为五个城镇 A、B、C、D 和 E。城镇 B、C、D 位于同一条直线上。城镇 E 位于城镇 D 的正东方向。已知 ∠ABC=32∘\angle ABC = 32^\circ，AC = 8 km 且 AD = 10 km。 计算 i) ∠ADB\angle ADB…
  59. 59点 A，B，C 和 D 处于海平面上。 AD = 980 km，AB = 710 km 且 CD = 1100 km。 从 A 测得 B 和 C 的方位角分别为 148° 和 140°。 从 C 测得 B 和 D 的方位角分别为 300°…
  60. 60图中显示了一个圆，圆心为 O，半径为 10 cm。AB 是一条长度为 16 cm 的弦。 证明角 AOB = 1.855 弧度，保留四位有效数字。 由此，求阴影弓形的周长。 答案 ... cm 阴影弓形的面积。 答案 ... cm^2