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勾股定理

勾股定理的应用

这个知识点的练习题

  1. 1在图中，有两个直角三角形 ΔABD 和 ΔCEB，使得 AD = 12 cm，BD = 15 cm，BE = 20 cm。 求 cos⁡∠ABD\cos \angle ABD。 答案 ___ 如果 ΔABD 和 ΔCEB 相似，求 BC 的长度。 答案…
  2. 2在三角形 ABC 中，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ，BX=2XCBX = 2XC 且 sin⁡∠AXC=35\sin \angle AXC = \dfrac{3}{5}。 用最简分数表示， tan ∠AXB\angle AXB。 答案 ... tan…
  3. 3如图所示，POR 是一个半径为 6 cm 的圆的四分之一扇形。OR 与 PQ 平行。QR 是以 P 为圆心的一段圆弧。 以弧度为单位计算角 QPR。 计算阴影部分的面积。
  4. 4三角形 ABC 是一个直角三角形。 已知它的其中两条边长为 11 cm 和 5 cm，求该三角形第三条边的两个可能的长度。 答案 ... cm 或 ... cm
  5. 5下图显示了一个礼品纪念品，它是由一个半径为 3 cm 的实心半球的平面与一个实心圆台拼接而成的。该圆台是通过一个平行于底面的平面对一个半径为 12 cm 的直角圆锥进行截割，分成两部分而得到的。圆台的高度为 xx cm。 已知该圆锥在截割…
  6. 6如图所示，PQRS 是一面高为 2.5 m、长为 7.5 m 的垂直矩形墙面。 T 是墙基 RS 处的水平地面上的一点。 ∠STR = 95° 且 ∠SRT = 40°。 X 是 ST 上的一点，使得 SX : XT 为 1 : 3。 计算…
  7. 7三角形的三边长分别为aa、bb、cc，且满足等式：(a+b)2−c2=2ab(a+b)^{2}-c^{2}=2ab，则此三角形是()() A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
  8. 8圆CC的半径为55，圆心在xx轴的负半轴上，且被直线3x+4y+4=03x+4y+4=0截得的弦长为66，则圆CC的方程为(      )\left(\;\;\;\right) A. x2+y2−2x−3=0x^{2}+y^{2}-2x-3=0…
  9. 9(1)二进制数学1101101(2)1101101_{(2)}转化为十进制数为___. (2)若实数xx，yy满足约束条件{x⩾0y⩽x2x+y−9⩽0\left\{\begin{array}{l}x\geqslant 0\\ y\leqslant x\\ 2x+y-9\leqslant 0\end{array}\right.…
  10. 10一个工业搅拌机由一个开口圆柱体连接一个圆锥体组成。 圆柱体和圆锥体的高度分别为 1.2 m 和 0.5 m。 搅拌机的直径为 1.5 m。 求搅拌机的容量，以升为单位。 答：___ 升 向搅拌机中倒水。 求水面的高度（以厘米为单位），已知水…
  11. 11在平面直角坐标系中，点OO为坐标原点，直线y=kx+k(k>0)y=kx+k(k > 0)与xx轴交于点AA，与yy轴交于点BB，过点AA的抛物线y=x2+bx+cy=x^{2}+bx+c与xx轴交于另一点P(1)P(1)…
  12. 12在图中，ABCDEFGH 是一个尺寸为 8 cm × 6 cm × 15 cm 的长方体。V 是矩形底面的中心。 证明 EV = 15.8 cm（精确到 3 位有效数字）。 答 计算角 ACE。 答 ... ° 从该长方体中切除一个棱锥 E…
  13. 13已知圆的方程(x−2)2+y2=1{{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=1，过圆外一点P(3,4)P\left(3,4\right) 作一条直线与圆交于A,BA,B两点，那么PA→⋅PB→=\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=…
  14. 14如图所示，一个直圆锥是从一个实心钢球中切割出来的。 点 O 是半径为 12 cm 的球体中心。 已知圆锥底面周长为 50 cm，证明圆锥的高度为 21.0 cm（保留 3 位有效数字）。 答 求该圆锥的侧面积。 答：... cm^2 将该圆…
  15. 15在△ABC\triangle ABC中，∠C=90°∠C=90°，tan⁡A=43\tan A=\dfrac{4}{3}，AB=20AB=20，则AC=AC=___.
  16. 16三角形 PQR 是一个直角三角形，其中 PQ = 10 cm，QR = 6 cm 且 ∠PRQ = 90°。M 是 PR 上的一点，使得 MR = 5 PM。 （请参考图表。） 求以下各项的值，并将答案写成最简分数形式： tan ∠MQR，…
  17. 17下列四组数中，是勾股数的是()(\quad) A. 2.52.5、66、6.56.5 B. 3232、4242、5252 C. 11、22、5\sqrt{5} D. 55、1212、1313…
  18. 18下图显示了一个以 BC = 34 cm 为直径的半圆 BAC。AD 和 BCD 是两条直线。 已知 cos⁡∠ABC=817\cos\angle ABC = \dfrac{8}{17}，在不求出角 ABC 和角 ACD 的值的情况下，求 cos⁡∠ACD\cos\angle ACD…
  19. 19下列各组数中，是勾股数的是()(\quad) A. 11，11，2\sqrt{2} B. 2.52.5，4.54.5，44 C. 66，77，88 D. 99，1212，1515…
  20. 20《九章算术⋅\boldsymbol{⋅}商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳…
  21. 21从点P(3,−1)P(3,-1)向圆x2+y2−4y−5=0x^{2}+y^{2}-4y-5=0作切线PT(TPT(T为切点))，则∣PT∣|PT|等于()(\quad) A. 5                                           5\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  22. 22图 I 显示了一块呈直圆锥形状的木头，底面直径为 18 cm。 该圆锥的侧面积为 135π cm2135\pi\text{ cm}^2。 求该圆锥的高度。 答案：... cm 图 I 中的圆锥被一个平行于底面的平面截成两部分。上半部分是一个底面直径为…
  23. 23勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：33，44，55；55，1212，1313；77，2424，2525；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相…
  24. 24已知圆C1\mathbf{C}_{\mathbf{1}}：x2+y2-6x-6=0\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{-}6}\mathbf{x\text{-}6\text{=}0}…
  25. 25该图显示了两个敞口容器，一个直圆柱和一个倒置的圆台。直圆柱的底面半径为 10 cm，高为 20 cm。该圆台是通过从一个较大的圆锥底部截去一个较小的圆锥而形成的。被截去的较小圆锥的高为 4 cm。较大圆锥的底面半径为 15 cm，高为 12…
  26. 26该图显示了一张形状为优扇形的硬纸板，圆心为 O，半径为 15 cm。优扇形 OPRQ 的总面积为 450 cm²。 (a) 以弧度为单位计算优角 POQ 的大小。 答：... 弧度 (b) 计算硬纸板的周长。 答：... cm 将 OP 和…
  27. 27直线y=2xy=2x与圆C:(x−2)2+(y+1)2=14C:(x-2{)}^{2}+(y+1{)}^{2}=14交于AA，BB两点，则△ACB{\rm\triangle}ACB的面积等于().(\quad). A. 352\dfrac{3\sqrt[]{5}}{2}…
  28. 28ABCD 是平行四边形。A 是点 (−6,−2)(-6,-2)，B 是点 (−4,−7)(-4,-7)。BC→=(8−2)\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}。 求线段 AB 的长度。 答案：...…
  29. 29该图展示了一个由圆锥、圆柱和半球组成的几何体。 圆锥的底面半径为 1.5x1.5x cm，高为 yy cm。 圆柱的半径为 1.5x1.5x cm，高为 3x3x cm。 半球的半径为 3x3x cm。 半球的体积是圆锥体积的三倍。 证明 y=8xy = 8x…
  30. 30图中，BDCE 是一条直线。BD = 4 cm，AC = 10 cm，且 AB = AD。 已知三角形 ABD 的面积为 16 cm²，证明三角形 ABD 的垂直高度为 8 cm。 以分数形式写出下列各项的值： sin ∠ACE tan ∠…
  31. 31该图展示了一个用于在酒店分发咖啡的圆柱形容器。 计算该圆柱体的体积。 答案 ... cm^3 将 25 升咖啡倒入该空容器中。计算该容器中空白空间的高度 hh。 答案 hh = ... cm 用该容器中的咖啡装满半径为 3.5 cm 的…
  32. 32直线ll：kx−y+1=0kx-y+1=0被圆x2+y2−4y=0x^{2}+y^{2}-4y=0截得的最短弦长为()() A. 232 \sqrt {3} B. 33 C. 222 \sqrt {2} D. 22
  33. 33图中显示了一个木制斜坡，其中 ∠BCF=90∘\angle BCF = 90^\circ 且 ∠CBF=35∘\angle CBF = 35^\circ。ABCD、CDEF 和 ABFE 均为矩形。AB = 40 cm 且 BC = 75 cm。求 ∠FAC\angle FAC…
  34. 34直线 l1l_1 的方程为 x+4y=20x + 4y = 20。 该直线交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B。 另一条与 l1l_1 垂直的直线 l2l_2 通过原点 OO 并在点 PP 处与 l1l_1 相交。 求 AB 的长度。 答案 .…
  35. 35一个正三棱锥的底面边长为66，侧棱长为15 \sqrt {15}，那么这个正三棱锥的体积是 ___ ．
  36. 36图中显示了两根在 P 点铰接的杆 PA 和 PB。两杆滑动时，P、A 和 B 处于同一铅直面上。当 P 向下移动时，A 和 B 将在水平地面上向相反方向移动。A 和 B 之间的水平距离为 x 米，P 距离地面的高度为 y 米。 用 y 表示…
  37. 37O 是等边三角形的中心。 三角形 ABC 是一个棱锥的底面。 顶点 X 垂直位于 O 的正上方，且 AX = 18 cm。 证明 OA 的长度为 4.619 cm（精确到 3 位小数）。 答案 计算该棱锥的总表面积。 答案 ... cm^2…
  38. 38AC 是以 O 为圆心的圆的直径。AC=2rAC = \sqrt{2}r 且 AB=BCAB = BC。 COB 是一个以 P 为圆心的半圆弧。 圆的未阴影部分占百分之几？
  39. 39P 是点 (-3, 1)，Q 是点 (3, 3)。 求 PQ 的长度。 点 R 使得 PQR 构成一个等腰三角形。 角 PQR 的角平分线方程为 y=xy = x。 求点 R 的坐标。
  40. 40某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π8π，扇形的半径为55，则圆锥的体积为()(\quad) A. 25π25π B. 7575 C. 55π5\sqrt{5}π D. 16π16π
  41. 41已知直线ll：kx+y−2=0(k∈R)kx+y-2=0(k∈R)是圆CC：x2+y2−6x+2y+6=0x ^{2} +y ^{2} -6x+2y+6=0的一条对称轴，过点A(0,k)A(0 , k)作圆CC的一条切线，切点为BB，则线段ABAB的长度为…
  42. 42下图显示了一个形状为梯形柱体的室内冒险乐园，其底面 ABCD 为正方形。该室内冒险乐园位于水平地面上，墙面 ADHE 和 BCGF 是倾斜的。 该柱体的顶部 EFGH 是冒险乐园的天花板，它也是水平的。EFGH 是一个正方形，且 EFGH…
  43. 43如图，矩形ABCDABCD内接在直径为FE‾\overline{FE}的半圆中。已知DA=16DA = 16，FD=AE=9FD = AE = 9，那么ABCDABCD的面积是多少？ A. 240 B. 248 C. 256 D. 264 E. 272
  44. 4422 P、Q 和 R 是水平地面上的三个点，使得 RPQ 构成一个直角三角形，其中 PQ 和 RQ 的长度分别为 135 m 和 205 m。已知 P 处有一座高度为 50 m 的建筑物，且 Q 相对于 P 的方位角为 119∘119^\circ…
  45. 45已知圆CC的圆心在直线y=x+1y=x+1上，且圆CC与xx轴相切，点P(−5,−2)P(-5,-2)在圆CC上，点Q(−4,−5)Q(-4,-5)在圆CC外． (1)求圆CC的方程； (2)若过点(−2,−4)(-2,-4)的…
  46. 46图中显示了一个高度为 9 米的棱柱形阶梯教室。 阶梯教室的地板 ABCD 是一个等腰梯形。 AB = 45 米，CD = 17 米，AD = 21 米，且 AB 平行于 DC。 J 是 AB 上的一个点，使得 DJ 垂直于 AB。 该阶梯教…
  47. 47下图显示了平地上的三个点 A、B 和 C。 AB = 80 m，AC = 100 m，BC = 90 m。C 位于 A 的正东方。 证明角 ACB = 49.5°，结果精确到一位小数。 由此，计算 C 相对 B 的方位角。 答案 ... °…
  48. 48圆锥的母线长为55，圆锥高为33，则该圆锥的侧面积为___.(.(结果保留π)π)
  49. 49下列各组数据中，是勾股数的为()(\quad) A. 33，44，55 B. 13\dfrac{1}{3}，14\dfrac{1}{4}，15\dfrac{1}{5} C. 0.30.3，0.40.4，…
  50. 50在平面内用12根火柴棒首尾顺次相接搭成三角形，能搭成 个直角三角形，搭成 个等腰三角形．
  51. 51A 的位置向量为 (34)\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}，B 的位置向量为 (710)\begin{pmatrix}7\\10\end{pmatrix}。 求列向量 AB→\overrightarrow{AB}。 答案…
  52. 52已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为 ．
  53. 53该图显示了一个圆柱形固体装饰品，其一端挖去了一个直立的圆锥，另一端连接着一个半球。 圆锥和圆柱的垂直高度分别为 xx cm 和 2x2x cm。 求圆锥体积与圆柱体积的比，并将你的答案表示为最简分数。 答案 ... 如果圆柱的体积为 34…
  54. 54在所示的五边形 ABCDE 中，角 BAE = 60°，角 BCD = 45°。AE 平行于 CD，E 落在 CB 的延长线上，且 CE = DE。 求角 CED。 求角 ABC。 已知 CD = 12 cm，求三角形 CDE 的面积。
  55. 55在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
  56. 56若实数mm，nn满足∣m−3∣+n−4=0|m-3|+\sqrt{n-4}=0，且mm，nn恰好是Rt△ABC{\rm Rt}\triangle ABC的两条边长，则第三条边长为()(\quad) A. 33或44 B…
  57. 57一个容器是直三棱柱，其横截面为直角三角形。容器的高度为 12 cm。 以恒定的速率向空容器中注水。注满容器需要 8 分钟。 在 tt 分钟后，水的深度为 dd cm。 求当 d=6d = 6 cm 时 tt 的值。 答 答 tt =…
  58. 58轮挡是放置在轮子或圆形物体旁以防止其移动的阻木。 珍妮（Jenny）需要为一种新型轮挡的设计提出一个原型。珍妮绘制了该轮挡的模型，其横截面如下图所示。 证明 BC=28(7+r)BC = \sqrt{28(7 + r)}。 已知 BC = 20 cm，求阴…
  59. 59用 rr 表示可能放入半径为 rr cm 的球体内的最大立方体的体积表达式。 答案 ... cm^3
  60. 60如图所示为两个全等的等腰三角形 PQS 和 RSQ。 PQ 和 RS 平行于 x 轴。 写出点 Q 的坐标。 答案 ( ... , ... ) 求直线 PR 的方程。 答案 ... W 是 x 轴上的一点，使得 RW 垂直于 RS。 写出点…