已知圆的方程${{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$，过圆外一点$P\left(3,4\right)$作一条直线与圆交于$A,B$两点，那么$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=$ ___．

1. 确定圆的圆心、半径及圆心到已知点的距离平方

由圆的方程 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ 可知，该圆的圆心为 $C(2, 0)$，半径为 $R = 1$。
已知圆外一点 $P(3, 4)$，利用两点间距离公式可得圆心 $C$ 与点 $P$ 的距离平方为：
$PC^2 = (3-2)^2 + (4-0)^2 = 1 + 16 = 17$

2. 引入弦 $AB$ 的中点 $D$，利用向量分解变形目标数量积

设弦 $AB$ 的中点为 $D$。因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，所以有 $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \mathbf{0}$，即 $\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{DA}$。
根据向量的加法，我们可以将 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 进行分解：
$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DA}$
$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{PD} - \overrightarrow{DA}$
由此可得目标数量积为：
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DA}) \cdot (\overrightarrow{PD} - \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{PD}^2 - \overrightarrow{DA}^2 = PD^2 - AD^2$

3. 结合直角三角形，利用勾股定理求得数量积的最终数值

连接 $CD$。因为 $D$ 是弦 $AB$ 的中点，由垂径定理知 $CD \perp AB$，即 $\triangle PDC$ 与 $\triangle ADC$ 均为直角三角形。
在 $\text{Rt}\triangle PDC$ 中，有 $PD^2 = PC^2 - CD^2$；
在 $\text{Rt}\triangle ADC$ 中，有 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = R^2 - CD^2$。
代入步骤二中的结论得：
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = PD^2 - AD^2 = (PC^2 - CD^2) - (R^2 - CD^2) = PC^2 - R^2$
代入已知值 $PC^2 = 17$ 与 $R^2 = 1$：
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 17 - 1 = 16$