(1)二进制数学$1101101_{(2)}$转化为十进制数为___. (2)若实数$x$，$y$满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x\geqslant 0\\ y\leqslant x\\ 2x+y-9\leqslant 0\end{array}\right.$则$z=x+3y$的最大值等于___. (3)口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为$0.45$，是红球或黄球的概率为$0.64$，则摸出一球是红球或蓝球的概率是___. (4)圆$x^{2}+y^{2}=1$的任意一条切线与圆$x^{2}+y^{2}=4$相交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点，$O$为坐标原点，则$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=$___.

1. 将二进制数按权展开并求和

根据二进制向十进制转换的原则，将 $1101101_{(2)}$ 按权展开：

计算各幂次项的值：

1. 分析可行域与目标函数的几何意义

约束条件为：

在平面直角坐标系中画出该可行域。目标函数为 $z=x+3y$，变形为 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{z}{3}$。
这表示斜率为 $-\frac{1}{3}$，截距为 $\frac{z}{3}$ 的一组平行线。当截距最大时，$z$ 取得最大值。

2. 求关键交点并计算目标函数的最大值

联立边界直线 $y=x$ 与 $2x+y-9=0$，解得交点为 $(3,3)$。
由于目标函数直线的斜率 $-\frac{1}{3}$ 介于边界直线斜率 $-2$ 和 $1$ 之间，故可行域在第一象限边界内收敛。当直线 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{z}{3}$ 经过交点 $(3,3)$ 时，截距最大。
将 $x=3, y=3$ 代入目标函数中，得：

1. 利用互斥事件概率加法公式求出摸到黄球的概率

设摸到红球、黄球、蓝球分别为事件 $R, Y, B$，这三个事件两两互斥且它们的并集为全集，即 $P(R)+P(Y)+P(B)=1$。
已知 $P(R) = 0.45$，$P(R \cup Y) = 0.64$。
由于事件 $R$ 与 $Y$ 互斥，所以 $P(R \cup Y) = P(R) + P(Y)$，
代入数据得 $0.64 = 0.45 + P(Y) \implies P(Y) = 0.19$。

2. 使用对立事件概率性质计算红球或蓝球的概率

摸出一球是红球或蓝球的事件与摸出黄球的事件互为对立事件。
因此，摸出红球或蓝球的概率为：

1. 分析切线与圆的几何关系并引入切点向量

设圆 $C_1: x^2+y^2=1$ 的任意一条切线为 $l$，切点为 $M$。
圆心即原点 $O(0,0)$ 到切线 $l$ 的距离为 $d = 1$，所以 $|\overrightarrow{OM}| = 1$，且 $OM \perp AB$。
因为 $M$ 是圆 $C_2: x^2+y^2=4$ 的弦 $AB$ 的垂足，由垂径定理知 $M$ 是 $AB$ 的中点，
从而有 $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \mathbf{0}$，即 $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MA}$。

2. 根据勾股定理求出半弦长，并利用向量投影和数量积计算点积

在直角三角形 $OMA$ 中，$OA = 2$，$OM = 1$，
根据勾股定理有：

利用向量分解计算 $x_1x_2 + y_1y_2 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$：

此值与切线的具体方程无关，恒等于 $-2$。