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图像法

用图解法求解不等式。

这个知识点的练习题

1曲线 $C_1$ 的方程为 $p^2x^2 - y^2 = p^2$ ，其中 $p > 1$ 。画出 $C_1$ 的草图，用 $p$ 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 $C_1$ 经过单一变换得到 $C_2$ 。…
2在同一幅图中，画出 $y = |2x + 3|$ 和 $y = -2x^2 - 8x - 3$ 的图像。（你不需要标出任何轴交点和驻点。）精确求解不等式 $|2x + 3| > -2x^2 - 8x - 3$ 。
3在同一个图上，画出满足下列条件的 $y = |2x - p|$ 和 $y = qx$ 的图像草图，标出轴交点。 * $p$ 和 $q$ 是常数， $p > 1$ 且 $q > 0$ ，以及 * 图像仅有一个交点。写出 $q$ 的最小值。解不…
4在同一坐标系中，画出 $y=5-\dfrac{1}{x-1}$ 和 $y=\dfrac{1}{(x-5)^2}$ 的图像草图。解不等式 $5-\dfrac{1}{x-1}<\dfrac{1}{(x-5)^2}$ 。
5曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + kx + 4}{x + 1}$ ，其中 $k$ 为常数。若 $C$ 有两个不同的驻点，求 $k$ 的取值范围。在接下来的问题中，使用 $k = 4$ 。画出 $C$ 的图像，清晰地…
6求方程 $\left|\dfrac{4x-5}{x-2}\right| = 3x$ 的精确根。在同一坐标系中，画出方程为 $y = \left|\frac{4x-5}{x-2}\right|$ 和 $y = 3x$ 的曲线草图。并由此求不…
7(1)二进制数学 $1101101_{(2)}$ 转化为十进制数为___. (2)若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x\geqslant 0\\ y\leqslant x\\ 2x+y-9\leqslant 0\end{array}\right.$ …
8曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$ 。画出 $C$ 的草图，清晰地写出所有渐近线的方程、极值点的坐标以及与坐标轴交点的坐标。通过在第 (a) 问的同一图中画出一条合适的图像，求 $b$ …
9在同一坐标系中画出 $y = 3e^x$ and $y = x + 3$ 的函数图像。清晰地标出这两个图像交点的坐标。解不等式 $3e^x > x + 3$ 。因此求出 $\int_{-2}^{2} |3e^x - x - 3| \, \mathrm{d}x$ …
10曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $y = \frac{2x^2 + 9}{x^2 - 4}$ 和 $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{9} = 1$ 。在同一坐标系中画出 $C_1$ 和 $C_2$ 的…
11在本题中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 均为非零常数。曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{ax^2 + bx - 7}{x - c}$ ，其斜渐近线 $y = dx + 2$ 与垂直渐近线相交于点 $(4, 6)$ 。求 $a$ …
12复数 $z$ 满足 $\arg(z-1-2i)=\theta$ ，其中 $\theta$ 是区间 $-\pi < \theta \le \pi$ 内的一个固定角。给出代表 $z$ 的点 $P$ 的轨迹的几何描述。已知 $\theta = \frac{\pi}{6}$ …
13已知 $\mathrm{f}(x) = x + \frac{m^2}{x-2}$ ，其中 $0 < m < 1$ 。画出 $y = \mathrm{f}(x)$ 的图像，清晰地标出极值点的坐标以及所有渐近线的方程。通过在第 (i) 问的草图…
14已知 $f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}x^2, & \text{for } 1 \le x < 2, \\ \tfrac{1}{4}(-3x+14), & \text{for } 2 \le x < 4, \end{cases}$ …
15完成 $y = x^2 + 2x - 1$ 的数值表。在对面的网格上，画出 $-4 \le x \le 2$ 范围内的 $y = x^2 + 2x - 1$ 的图像。利用你的图像写出一个关于 $x$ 的不等式，以描述 $y < 3$ …
16曲线 $C$ 的方程为 $y = 2ax + \frac{b}{x}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为非零实常数且 $x \ne 0$ 。利用求导，确定当 $ab < 0$ 时曲线 $C$ 是否存在任何驻点。现在已知 $b = \frac{1}{2}a$ …
17用 $a$ 表示方程 $\dfrac{1}{(x-a)^2}=|x-a|$ 的根。在同一坐标系中，画出方程为 $y=\dfrac{1}{(x-a)^2}$ 和 $y=|x-a|$ 的曲线草图，其中 $a>1$ 。由此解不等式 $\dfrac{1}{(x-a)^2}>|x-a|$ …
18当李老师在周末给他的任何一个学生发短信时，平均每 10 次中大约有 6 次会收到回复。在一个特定的周末，李老师给 25 个学生发了短信。结合本题的情境，陈述用二项分布对收到回复的学生人数进行建模所需的两个假设。解释为什么在第 (i) 部…
19画出方程为 $y = \ln(x+1), x > -1$ 的曲线草图，写出渐近线方程以及与坐标轴的交点。在同一坐标系中，画出方程为 $y = \sqrt{9-x^2}, -3 \le x \le 3$ 的曲线草图，写出与坐标轴的交点。利用…
20曲线 C 的方程为 $y=\dfrac{2x^{2}-a}{x+k}$ ，其中 $a,\; k>0$ 。已知 $2k^{2}\ne a$ ，求 $k$ 的取值范围，使得曲线 C 具有至少一条平行于 x 轴的切线。当 $2k^{2}=a$ 时，…
21曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程分别为 $\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{4} = 1$ 和 $y^{2} + x^{2} = k^{2}$ ，其中 $k$ 为正常数。在同一坐标系中画出 $C_{1}$ …
22(Q2) [Cambridge/9231/2007] 曲线 C 的方程为 $y = \frac{ax^2 + bx + c}{x + 4},$ 其中 $a$ ， $b$ 和 $c$ 是常数。已知 $y = 2x - 5$ 是 C 的一条渐近…
23在同一坐标系中，画出 $y = \frac{1}{x - 2}$ 和 $y = 4x - 2$ 的函数图像，并清晰地标出渐近线方程以及与坐标轴交点的坐标。由此或通过其他方法，解不等式 $\frac{1}{x - 2} \le 4x - 2$ …
24曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + 4x + \lambda - 5}{x + r},$ 其中 $\lambda$ 为非零常数，且有一条垂直渐近线 $x = 1$ 。写出 $r$ 的值并求出 $C$ 的另一条渐近线…
25在同一幅图中，画出方程为 $y = \frac{|x + 1|}{|x - 2|}$ 和 $y = \ln\left(1 - \frac{x}{2}\right) + \tfrac{1}{2}$ 的曲线，指出所有渐近线的方程以及与坐标轴的交…
26画出方程为 $y = \frac{x-2}{x-1}$ 的曲线 $C$ 的草图，写出其与坐标轴的交点的精确坐标以及所有渐近线的方程。通过在草图中添加一条直线，解不等式 $\frac{x-2}{x-1} \le 2-x$ 。由此，解不等式…
27图示为 $y = |a - bx|$ 和 $y = |mx - 6|$ 的图像，其中 $a$ 、 $b$ 和 $m$ 是正常数。 $y = |a - bx|$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ …
28画出 $(y+2)^2 = 4(x-1)^2 - 9$ 的图像，并展示其主要特征。由此求 $k$ 的取值范围，使得方程 $9 + (y+2)^2 = 4(k^2 - 1)^2.$ 没有实数根。下图显示了 $y = h(3 - x)$ …
29画出 $(y+2)^2 = 4(x-1)^2 - 9$ 的图像，并标出其主要特征。由此求 $k$ 的取值范围，使得方程 $9 + (y+2)^2 = 4(k^2 - 1)^2.$ 无实根。下图显示了 $y = h(3 - x)$ 的…
30已知 $a$ 和 $b$ 都是正数常数，在同一幅图上，草拟以下函数的图像： $y = \frac{2}{|x - a|} \quad \text{and} \quad y = b|x - a|.$ 由此或通过其他方法，解不等式 $\frac{2}{|x - a|} > b|x - a|$ …
31在同一坐标系中，草绘 $y = \sin 2x$ 和 $y = \cos x$ 在 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ 上的图像，并写出曲线与坐标轴交点的精确坐标。求不等式 $\sin 2x > \cos x$ （其中…
32函数 f 定义为 $f:x\mapsto\dfrac{1}{2-x^2},\quad x\in\mathbb{R},\;x\le 0,\;x\ne -\sqrt{2}\,.$ 以类似的格式定义反函数 $f^{-1}$ 。在同一坐标系中画…
33复数 $z$ 满足关系式 $|z|\le 2$ 且 $\dfrac{\pi}{6}\le \arg z \le \dfrac{\pi}{2}$ 。在同一个阿根特图上，将这两个关系表示为区域 $R$ 。已知 $l$ 是满足 $\arg\left(z-\sqrt{3}\right)=k$ …
34曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{3x^2 + ax + 3}{x + 1}$ ，其中 $a$ 是常数， $a \ne 6$ 。求 $a$ 的取值范围，使得 $C$ 与 $x$ 轴不相交。已知 $C$ 的方程为 $y = \frac{3x^2 - 6x + 3}{x + 1}$ …
35函数 $\mathrm{f}$ 的定义为 $\mathrm{f} : x \mapsto \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ ，其中 $x \in \mathbb{R}$ ， $-2 < x \le 0$ 。草拟…
36双曲线 $C_1$ 的方程为 $\frac{(x-2)^2}{3^2} - \frac{y^2}{2^2} = 1$ 。草拟 $C_1$ 的图像，并标出渐近线方程和轴截距的坐标。曲线 $C_2$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = k^2$ …
37曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $y=\dfrac{x-b}{x-a}$ and $y=\dfrac{x-b}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，且 $1<a<b$ 。证明 $C_1$ 和 $C_2$ 交点的 $x$ …
38在同一坐标系中草绘 $y=3e^{x}$ 和 $y=x+3$ 的图像。清晰地标出这两个图像交点的坐标。解不等式 $3e^{x} > x + 3$ 。 (b) 由此求出 $\displaystyle \int_{-2}^{2} |2e^{x} - x - 3|\, dx$ …
39在同一坐标系中，画出方程为 $y = \ln(x-2)$ 和 $y = \frac{1}{\text{e}^x} + 3$ 的曲线草图，并写出渐近线的方程。由此，解不等式 $\frac{1}{\text{e}^x} + 3 \ge \ln(x-2)$ …
40画出 $(x-2)^2 + 4(y+2)^2 = 16$ 的图像，并给出所有顶点的坐标。在同一幅图中，画出 $y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1}$ 的图像，并给出任何渐近线的方程、极值点坐标以及与坐标轴的交点。…
41在同一幅图上画出 $y = 1 + \frac{a-2}{x-a}$ 和 $y = -\frac{1}{a}x + \frac{2}{a}$ 的图像，其中 $a$ 是一个正常数且 $1 < a < 2$ ，并清晰标出所有渐近线和与坐标轴的交点…
42曲线 $C$ 的方程为 $y=\frac{ax^2-2ax+a-2}{x-2},\quad a\in\mathbb{R},\ a\ne 0.$ 求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。求使得 $C$ …
43不使用计算器，解不等式 $\frac{2x^2 + 3x}{2x^2 + x - 1} \le \frac{1}{2x + 2}$ 。利用第 (i) 部分的答案，求不等式 $\frac{2\cos^2 x + 3\cos x}{2\cos^2 x + \cos x - 1} \le \frac{1}{2\cos x + 2},$ …
44图中显示了 $y = |a - b x|$ 和 $y = |m x - 6|$ 的图像，其中 $a, b$ 和 $m$ 是正常数。 $y = |a - b x|$ 的图像与 x 轴相交于点 $\left(\tfrac{9}{4},0\right)$ …
45图示为 $y = |a - bx|$ 和 $y = |mx - 6|$ 的图像，其中 $a$ 、 $b$ 和 $m$ 为正常数。 $y = |a - bx|$ 的图像与 $x$ 轴相交于点 $\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ …
46 $y = \mathrm{f}'(x)$ 和 $y = |\mathrm{f}(x)|$ 的图像如下图所示。写出 $y = \mathrm{f}(x)$ 图像所有转向点的性质。写出 $\mathrm{f}$ 递减时 $x$ 的取值范围。…
47对于 $-1 \le t \le 1$ ，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $x=3t^3+2t^2$ 且 $y=-t^3+2t^2+1$ 。另一条曲线 $C_2$ 的方程为 $x^2+(y-1)^2=k$ ，其中 $k\in\mathbb{R}^+$ …
48设 $y = \tan\left(2\tan^{-1}x + \frac{\pi}{4}\right)$ 。证明 $(1+x^2)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2(1+y^2)$ 。由此求 $y$ 的麦…
49[已知半径为 $r$ 、圆心角为 $\theta$ 的圆扇形面积为 $\frac{1}{2}r^2\theta$ 。] 一位花商拥有一个形状为以 $O$ 为圆心的圆扇形 $OPQ$ 的温室，并打算围出一块矩形区域来种植玫瑰。花园在下图中由一个…
50在同一幅图上画出 $y = 1 + \frac{a - 2}{x - a}$ 和 $y = -\frac{1}{a}x + \frac{2}{a}$ 的图像，其中 $a$ 是一个正常数且 $1 < a < 2$ ，并清晰标出所有渐近线和与坐标…
51 $y=f'(x)$ 和 $y=|f(x)|$ 的图像如下所示。确定 $y=f(x)$ 图像所有极值点的性质。求 $f$ 递减时 $x$ 的取值范围。草拟 $y=f(x)$ 的图像，清晰标出渐近线方程、极值点坐标以及与坐标轴的交点。在…
52在同一坐标轴上，画出方程为 $y = \left| \frac{ax + 1}{1 - ax} \right|$ 和 $y = \frac{1}{a}x + 1$ 的曲线草图，其中 $a > 1$ ，并给出渐近线的方程以及曲线与坐标轴交点的坐…
53在同一坐标系中，画出函数 $y = \ln(2x+9)$ and $y = \sqrt{10-x^2}$ 的图像，标出图像与 $x$ 轴交点的坐标以及所有渐近线的方程。由此解不等式 $\ln(2x+9) \ge \sqrt{10-x^2}$ …
54函数 f 的定义为 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ，其中 $a,b,c$ 和 $d$ 是实数。已知 $1-2i$ 和 $-1$ 是 $f(x)=0$ 的根，用 $a$ 表示 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 。若改为已知 $a = 2$ …
55曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + ax + b}{x + 1}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $C$ 在 $(2, 0)$ 处有一个极小值点。证明 $a = -4$ 且 $b = 4$ 。草拟曲线 $C$ …
56函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 定义为 $\mathrm{f} : x \mapsto x^2 + 2x + 4, \quad x \le -1 \quad \text{and} \quad \mathrm{g} : x \mapsto \ln(2x - 1), \quad x > \frac{1}{2}.$ …
57不使用计算器，解不等式 $\dfrac{2x^2 - x}{x^2 + 3x - 4} > 1$ 。在同一坐标轴上，画出 $y = 2 + \dfrac{a}{x}$ 和 $y = 2 - |x|$ 的图像草图，其中 $a$ 是满足 $1 < a < 2$ …
58复数 $z$ 满足关系式 $|z - 2\mathrm{i}| < 4$ 和 $|z + 4 - 6\mathrm{i}| \le |z - 2\mathrm{i}|$ 。在同一个阿氏图上表示出这两个关系。求 $\arg z$ 的取值范围…
59复数 $z$ 满足以下不等式： $|z|^2 \le 4 \quad \text{and} \quad -\frac{\pi}{6} \le \arg(z + \sqrt{3} - \mathrm{i}) \le 0.$ 在阿甘德图上，…
60曲线 C 由以下参数方程定义： $x = \cos t + \dfrac{1}{2} \cos 5t, \quad y = \sin t + \dfrac{1}{2} \sin 5t \quad$ （其中 $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$ …